基于共形天線陣的免搜索來波方向估計算法研究

楊 鵬 楊 峰 聶在平 周海京

（1.電子科技大學電子工程學院，四川 成都 611731；2.北京應用物理與計算數學研究所，北京 100088）

引 言

高性能的來波方向（DOA）估計算法一直以來都是陣列天線技術的研究熱點之一。傳統的高分辨率來波方向估計算法，如多重信號分類算法［1］（MUSIC）和最大似然算法［2］，往往需要進行一維或多維參數搜索，計算量巨大，限制了其在實際工程中的應用。基于旋轉不變子空間的旋轉不變參數估計技術（ESPRIT）算法［3］和基于多項式求根的 Root-MUSIC算法［4-5］是兩類具有代表性的免搜索算法，前者是利用各子陣間信號子空間的旋轉不變性求出入射角度信息，而后者則是利用導向矢量與噪聲子空間的正交性構造多項式，通過多項式求根來得到入射角度。由于無需對譜空間進行搜索，兩類算法大大降低了運算量。然而，受到陣列拓撲結構的限制，該兩類算法具有一定的局限性。比如ESPRIT算法要求各個子陣之間具有旋轉不變的性質，而Root-MUSIC算法則要求陣列具有范德蒙德結構。因此，ESPRIT算法和Root-MUSIC算法只能用于均勻直線陣或均勻平面陣。在此基礎上有一些改進的方法，如基于相位模式的變換可以讓此類算法應用到圓環陣中，但仍然無法應用到任意陣列結構。國內外學者近年來開展了大量研究，提出了不少能適用于任意陣列結構的免搜索方法，其中具有代表性的是基于內插變換技術［6-7，13］、基于陣列流型分離技術［8-9］和基于傅里葉變換技術［10］的新算法。當假設天線單元為點源，即所有陣元方向圖相同且為全向時，上述三類算法均表現出良好的估計性能［11］。

在實際應用中，經常需要將天線陣列安裝在載體表面，形成所謂的共形天線陣［12］。相對于普通陣列，共形天線陣有許多不同的特性:首先，由于天線陣元共形于載體表面，陣元具有方向性，即對不同方向的來波信號響應不同；其次，共形陣安裝的平臺往往具有一定的曲率半徑，各陣元輻射的最大方向都不同；此外，由于載體的遮擋，對某些方向的來波信號，不是所有陣元都能接收到，即存在所謂的“暗區”。這些特性給基于共形陣的DOA估計算法帶來了新的挑戰［13］。本文結合實際的球面共形陣列天線，研究了上述幾種免搜索類算法在共形陣上的估計性能。

1.共形陣的數學模型

圖1所示為一共形于任意曲面載體的天線陣，假設陣元數為 N，各陣元中心的坐標為（xi，yi，zi），i=1，2，…，N.假設有P個窄帶信號入射到該陣列上，且 DOA的方位角和俯仰角為（φp，θp），p=1，2，…，P.為簡單起見，以下暫不考慮極化和互耦影響。在某一時刻t，陣列接收數據可以表示為

式中:X（t）=［x1（t），x2（t），…，xN（t）］T∈CCN×1是整個陣列在t時刻接收到的信號數據矢量，即一次快拍，（·）T表示轉置；F=［f（φ1，θ1），f（φ2，θ2），…，f（φP，θP）］∈CCN×P為陣列方向圖矩陣，其中的第i行第p列元素fi（φp，θp）表示第i個陣元對第p個信號的響應；S（t）∈CCP×1是表征各個來波信號復振幅的矢量；N（t）=［n1（t），n2（t），…，nN（t）］T為加性高斯白噪聲矢量；A=［a（φ1，θ1），…，a（φP，θP）］∈CCN×P為陣列流型矩陣，其中a（φp，θp）∈CCN×1為第p個信號在該陣列上的導向矢量，a（φp，θp）的第i個元素為

圖1 任意結構的共形陣

其中波數k=2π／λ，λ為信號波長。經過T次快拍采樣后，可以構造該陣列的采樣協方差矩陣為

式中（·）H表示共軛轉置。對Rx進行特征分解后，傳統的MUSIC譜函數可以表示為

式中，EN∈CC（N-P）×（N-P）表示噪聲子空間，是式（3）經過特征分解后，N-P個小特征值對應的特征向量。MUSIC算法正是通過對空間進行搜索，找出P個極小值對應的角度，作為DOA的估計值。由式（4）可見，傳統的MUSIC算法需要進行俯仰和方位角度二維搜索，運算量巨大。

2.適用于任意陣列結構的免搜索算法

本節對幾類適用于任意陣列結構的免搜索算法進行研究和比較，為了簡單起見，暫時只討論一維問題，即只對φ進行估計。

2.1 基于空間內插變換的方法

空間內插變換的基本思想是將空間觀察區域進行劃分，假設信號位于區域Φ內，將區域Φ均分為

式中:φ1，φ2為該區域的左右邊界；Δφ為步長，則任意真實陣列的導向矢量經過內插后變為

在同一區域中，假設存在另一個陣元為全向的虛擬均勻直線陣列，其內插后的陣列導向矢量為

若能找到一個變換矩陣B1∈CCN×N，滿足

則可將任意陣列變換為該虛擬均勻直線陣。這樣就可以利用均勻直線陣的Root-MUSIC算法構造出

式中z=exp（j kdcosφ），其中d為虛擬均勻直線陣陣元間距。通過求解該多項式，找出P個模值最接近單位圓的根，即可得到角度信息。

2.2 基于陣列流型分離技術的方法

在極坐標下，式（2）可以表示為

式中:ri和φi為第i個陣元在極坐標下的矢徑和角度；Jm為m 階的第一類貝塞爾函數；M為模式數且M=2 M1+1.經過變換后，導向矢量可以表示為

式中d（φ）為具有范德蒙德結構的矢量

由此，任意陣列結構的譜函數可以表示為

式中z=exp（jφ），通過求解該多項式可以得到所需的角度信息。在實際應用中，變換矩陣B2可以通過最小二乘法或在多個不同的角度設置位置精確已知的信號源來獲得。

2.3 基于傅里葉變換的方法

在傳統MUSIC算法的譜函數式（4）中，注意到方位角φ是一個以2π為周期的周期函數。對一維問題，該譜函數可以通過傅里葉級數展開為

式中傅里葉系數Fm可以通過離散傅里葉變換（IDFT）近似得到

式中Δφ=2π／（2 M2-1），M=2 M2-1為模式數。基于傅里葉變換的譜函數可以表示為

式中z=exp（jφ）.則待估計的角度信息可通過求解式（16）獲得。

由上述分析可以看出，基于空間內插變換和基于陣列流型分離技術的關鍵都是在尋找一個變換矩陣Bn（n=1，2），將任意陣列的陣列流型矢量變換為具有范德蒙結構的矢量，通過多項式求根的方式解出未知的角度信息。雖然尋找變換矩陣是一個復雜而運算量龐大的過程，但對一定的陣列結構，只需計算一次，且該過程是可以離線處理的。基于傅里葉變換的方法雖然無需尋求變換矩陣，但在觀察區域內需要對不同的角度重復計算f（lΔφ），以此來求得傅里葉系數，不過最終對譜函數的求解可以利用逆FFT進行加速。此外，從上述推導可知，基于空間內插的多項式階數為N，基于陣列流型分離技術的多項式階數為2 M1+1，而基于傅里葉變換的多項式階數為2 M2-1.通常情況下，為保證估計精度，M1和M2都取大于N的值，理論上后兩種方法都具有比空間內插方法更大的運算量。最近，已有學者提出通過多項式因式分解的方法進行降階，以減少這兩類算法的運算量［14］。由于多項式的階數總是大于信號個數，會有冗余的根存在，在對多項式進行求解后，需要進行一些后處理來去除這些冗余的根，具體步驟可參見相關文獻。表1列出了各種算法的復雜度［9］。其中N 為陣元數，P為信號源個數，J為譜峰搜索的格點數，I為內插扇區數，M 為模式數，（·）root表示多項式求根的復雜度。為了保證足夠的精度，通常情況下J?M＞N＞P≥1，因此，MUSIC算法計算復雜度最大，基于傅里葉變換方法的復雜度要小于基于陣列流型分離的方法，而基于空間內插的最小。

表1 各種算法的計算復雜度比較

3.算例仿真

為了驗證上述算法在共形陣上的性能，采用圖2所示為半球面共形陣作為研究對象。該金屬球的半徑為1.5λ，在球面上均勻分布著八個微帶共形天線，陣元弧間距為0.47λ.假設有兩個同頻窄帶且互不相關的信號1和信號2分別從φ=π／3和φ=π／2的角度入射到該陣列上，噪聲為加性的高斯白噪聲，每個實驗獨立進行200次。由于陣元放置在曲面上且陣元之間存在互耦，各陣元的最大輻射方向以及每個陣元的方向圖均不相同，仿真中各陣元的方向圖采用實測數據，已將互耦影響考慮在內［15］。為了了解共形陣與非共形陣上DOA估計性能的差異，給出了具有相同陣列結構的理想非共形陣（陣元為全向輻射的點源，不考慮互耦和極化）上經典MUSIC算法的估計結果作為比較。

圖2 八元半球共形陣

3.1 模式數的選取對算法的影響

由于模式數的選取直接影響到陣列流型分離方法和傅里葉變換法的精度，應考察這兩類算法中模式數的選取與估計偏差的關系。固定兩信號的信噪比為10dB，采樣數為128點，圖3為仿真結果。由圖3可見，為了獲得較高的精度，基于傅里葉變換的方法比基于陣列流型分離方法需要更多的模式數。同時發現，在該共形陣上，當模式數大于35時，這兩類算法均能獲得較小的估計誤差。

圖3 模式數與估計偏差的關系

3.2 信噪比對算法的影響

對空間內插方法，將該弧形陣通過內插變換為一個具有全向陣元的虛擬的均勻直線陣。經過優化后，該虛擬直線陣陣元間距為0.33λ，且離開x軸的距離為1.02λ，內插扇區范圍取為［π／3，2π／3］.對陣列流型分離方法，假設校正源的信噪比為80dB，且在方位面內每隔1度測量一次，共360次，模式數M=2 M1+1=39.對傅里葉變換方法，取模式數M=2 M2-1=39.圖4所示為當快拍數固定為128時，不同信噪比下各種算法在該共形陣列上的性能。由圖4可以看出，在共形陣上，由于陣元方向圖的不一致性及互耦帶來幅度響應誤差，導致各種算法性能相對于理想非共形陣都有所下降。對信號1（φ=π／3），這種影響要大于信號2（φ=π／2），因此對信號1的整體估計精度要差于信號2.隨著信噪比（SNR）的增加，各種方法的精度都有所提升；但基于空間內插的方法對信號1卻仍然存在較大的誤差，且這種誤差與SNR無關，這主要是由于內插變換的誤差產生的:由于信號1位于觀測扇區的邊緣，相對于位于扇區中心的信號2，變換誤差要大得多。為了減少這種誤差，可加大內插密度或將觀測扇區劃分為若干個子扇區分別處理［7］。從圖4可以發現，基于陣列流型分離和基于傅里葉變換的算法都具有較高的性能，當SNR＞-5dB時，這兩種算法的估計精度都很接近理想非共形陣列MUSIC算法的性能。

3.3 快拍數對算法的影響

固定兩信號的SNR=10dB，其余條件與3.2中相同，圖5為估計偏差與采樣數的關系。可以看出，基于空間內插的方法對信號1仍有較大的估計偏差外，原因和3.2節分析的一樣，不再贅述。而其他兩種方法均能較準確地估計出兩個信號。就估計精度而言，基于陣列流型分離的算法最好，從圖5可以看出，性能接近理想非共形陣上MUSIC算法的性能；基于傅里葉變換的算法精度次之，而基于空間內插的算法精度最差。

需要說明的是，上述方法不僅僅局限于半球共形陣，實際上可以應用到任意陣列結構。對于曲率半徑較小的曲面，由于載體的遮擋效應導致部分陣元接收不到信號，此時應將上述方法結合子陣分割法來處理，子陣分割的詳細步驟可參考文獻［13］。

4.結 論

針對共形天線陣的特殊性，結合實際的半球共形陣，研究和比較了幾種不受陣列結構限制、免搜索的DOA估計算法的性能。結果表明:在同等條件下，基于陣列流型分離的方法估計精度最好，與理想非共形陣的MUSIC算法相當。基于傅里葉變換的精度次之，但二者差別不大，而基于空間內插的方法估計精度最差。從運算量來說則剛好相反。此外，研究還發現，相比具有全向陣元的陣列，在共形陣上，基于傅里葉變換和基于陣列流型分離的算法需要更多的模式數以獲得良好的精度，這會導致多項式的階數變高，從而增大計算復雜度。如何降低多項式的階數，是這類方法今后研究的方向。

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