月地轉移中途軌道修正分析

尹軍用，汪 備

（上海宇航系統工程研究所，上海201108）

1 引言

2007年10月24 日，中國第一顆月球探測衛星“嫦娥一號”成功發射。嫦娥一號衛星的轉移軌道（不包括調相軌道）飛行時間是114h，為了克服探測器飛向月球過程中軌道位置和速度誤差的逐漸發散，嫦娥一號設計了三次中途軌道修正：第一次修正在第17h進行，最后一次在第90h進行，還有一次作為備選，安排在第41h。實際上，嫦娥一號衛星飛行十分理想，只是在第41h作了唯一的一次中途軌道修正，修正量4.8m/s。

月地轉移和地月轉移動力學方程類似，月地轉移的軌道特性和地月轉移的軌道特性存在對稱性。因此，月地轉移軌道同樣存在中途軌道修正的問題，如果月地轉移的入軌偏差超過允許值，卻不進行中途軌道修正，則難以保證返回器（艙）的落點精度，甚至不能返回地球。

不管是載人登月還是無人探月，月地轉移中途軌道修正都不可或缺。據目前了解到的資料，只有前蘇聯的Luna-16月球采樣返回沒有進行中途軌道修正（主要因為Luna-16返回地球的精度要求較低），其余月球返回探測器（Luna-20、Luna-24、探測器5～8號等）都進行了至少一次月地轉移中途軌道修正。

在人類載人登月的歷史中，僅有6次成功的載人登月經驗，即“阿波羅”（Apollo）11號～Apollo17號（Apollo-13號除外），Apollo載人飛船在進行月地轉移時，至少進行1次中途軌道修正，見表1。

表1顯示，Apollo載人登月月地轉移中途軌道修正一般分兩次，第一次一般在月地加速后15h左右，第二次中途軌道修正在到達再入點前3h左右。

載人登月軌道和無人登月軌道的區別主要有兩點：

其一是載人登月軌道轉移時間一般較短，目的是減少乘員和系統對能源的消耗。Apollo載人登月系列中，任務時間最長的為Apollo17號，約302h，最短的是Apollo11號，約195h。Apollo載人登月飛船地月轉移時間在69h～81h之間，月地轉移時間在59h～72h之間。而無人登月任務因為對載人及附加系統的能源的消耗要求稍低，一般時間較長。

其二是載人登月的軌道安全性設計要求較高。Apollo載人登月飛船在火箭發射過程、地月轉移過程（見圖 1）、著月過程都考慮了安全返回軌道的設計（見圖2）。NASA給“阿波羅”登月飛船設計了很高的安全標準：從火箭起飛開始，航天員完成登月任務的概率為90%，航天員安全返回地球的概率為99.9%（不管是否完成任務），而無人登月任務的軌道則不需要這么高的安全性。

表1 Apollo登月飛船月地轉移統計

圖1 “阿波羅”地月轉移過程的中止軌道

圖2 “阿波羅”著月過程的中止軌道

Apollo地月/月地轉移中途修正的目的有兩類：

一類是修正軌道入軌偏差。由于入軌時間誤差、控制誤差、導航誤差等因素的影響，Apollo飛船入軌后會與預先設計的軌道有一定偏差，且到達月球（或返回地球）的軌道參數也與期望值不同，必須在中途進行軌道修正以滿足到達月球（或返回地球）的軌道約束。修正軌道入軌偏差的修正量和入軌偏差有關系。

另外一類修正的目的是改變目標軌道。Apollo載人登月軌道的安全性軌道設計要求比較高，一般發射軌道采用自由返回軌道，但是自由返回軌道有一定的局限性，即著月點限定在月球赤道附近，無法到達月球高緯度地區，因此，實際Apollo地月轉移軌道常采用混合軌道（見圖 3），即載人飛船一開始按照自由返回軌道發射并進入轉移軌道后，當確信船上儀器工作正常時，飛船將進行中途軌道修正，偏離自由返回軌道，進入目標軌道，使飛船能夠降落在月面設定著陸點。

圖3 “阿波羅”飛船混合軌道

到目前為止，針對月球探測器中途軌道修正的研究主要集中在地月轉移中途軌道修正，對月地轉移的中途軌道修正尚未看到公開的文獻，本文的目的是通過數值計算，對月地轉移的中途修正時間和修正量進行分析，為我國的月球探測返回軌道設計提供理論依據，其適用范圍可以是無人登月返回，也可以是載人登月返回。

2 模型的建立

2.1 探測器的動力學方程

月球探測器在地-月間飛行過程中，除了受到中心引力體的萬有引力以及發動機的推力外，還受到其它天體（太陽、月球/地球等）的引力攝動，地球、月球非球形攝動、太陽光壓攝動以及大氣阻力等攝動作用，在進行探月軌道設計時必須考慮這些攝動的影響。而對于探測器受到的其它的攝動，比如木星、金星和火星的第三體攝動、地球潮汐攝動、地球扁率的間接攝動、相對論效應攝動等，由于其對探測器飛行軌道影響較小，在進行探測器軌道設計時，可以忽略不計。

月球探測器在地心天球坐標系中的動力學方程為：

式中，右端第一項為地球的中心引力，其余項為：AN：N體引力攝動加速度；ANSE：地球非球形引力攝動加速度；AP：推力加速度；ANSL：月球非球形引力攝動加速度；AR：光壓攝動加速度；AD：大氣阻力攝動加速度。

本文中，探測器的動力學方程主要考慮第三體引力—太陽和月球的影響，別的天體攝動因素因其量級較小，暫不考慮。

2.2 地月/月地轉移軌道的解法

2.2.1 微分修正法

為簡單起見，僅考慮地球、月球和太陽的引力作用，則月球探測器的軌道動力學方程可以表示為：

若記，則上述二次方程可以改寫為一次方程：

對方程（4）做變分，得

其中，A（t）=Df（u（t））為f（u）的Jacobian矩陣。

又變分方程（5）具有如下形式的解：

因此，給定初始條件u（t0）=u0，Φ（t0，t0）=I6，通過

即可解出狀態轉移矩陣 Φ（t，t0）。

2.2.2 地月轉移軌道的解法

令

其中，Ω為升交點赤經，ω為近地點幅角，vp是近地點的速度，Hm為近月點高度，是Z方向的單位矢量。地月轉移初始狀態與終端狀態之間有著確定的關系，如下

忽略二階項，則兩狀態的偏差之間的關系可以用線性近似表示為

利用這一關系，在一個合適的初值基礎上，通過若干次迭代就可以求出十分精確的數值解。這里的問題是，上述偏導數的分析表達式無法給出，但可通過數值求出，如下

則，

2.2.3 逆向積分法

在進行月地轉移軌道計算時，按照地月轉移的思路，初始位置在環月軌道，末端位置在地球大氣層附近，分別給出兩端的約束條件，可以應用微分修正法計算月地轉移軌道。一般的，為了計算月地轉移軌道的方便，可以根據地月和月地軌道計算的對稱性，根據逆向積分，將月地轉移軌道從再入點積分至月球停泊軌道，計算方法和計算過程和計算地月轉移軌道類似，僅僅需要將積分時間由正變為負。

3 環月軌道參數誤差對再入點偏差的影響

探測器在月地轉移過程中，對于不同的月地轉移軌道，地—月系統對探測器初始入軌誤差都會逐漸放大，且對不同軌道的影響會有所不同。但是，由于整個轉移過程中的動力學方程完全一致，且都是從月球附近轉移到地球附近，雖然其初始參數和末端參數不同，但是整個發散的量級是相同的，中途軌道修正的能量也是和初始軌道偏差成正比的。

給定2016年10月10日0時42分54秒從月球停泊軌道出發的一條軌道，出發點在月心慣性系下的參數為aM=Rm+200km、e=0、i=139.2°、Ω=176.7°、ω=231.9°、f=0°，對應Vp=2459.85m/s。該月地轉移軌道轉移時間72h，到達再入點時間為2016年10月13日0時42分54秒，再入點經度為57.191deg、再入點緯度為30.433deg。

下面分別研究環月軌道參數的偏差對再入點的影響，方法是對環月軌道參數進行拉偏，其中月地轉移時間為從月地加速點至再入點的時刻間隔，再入點的偏差是在地固系下實際再入點和期望再入點的直線距離，各種參數對再入點的影響見表2～表7。

表2 初始速度偏差對再入點的影響

表3 初始近月點高度偏差對再入點的影響

表4 初始軌道傾角偏差對再入點的影響

表5 初始真近點角偏差對再入點的影響

表6 初始升交點赤經偏差對再入點的影響

表7 初始近地點幅角偏差對再入點的影響

由表2～表7可知，環月軌道參數偏差對再入點的位置影響很大，在沒有中途軌道修正的情況下，初始速度偏差0.1m/s，再入點位置偏差200km量級；初始近月點高度偏差0.5km，再入點位置偏差在500km量級；初始軌道傾角和真近點角偏差0.1deg，再入點位置偏差在100km量級；初始升交點赤經和近地點幅角偏差0.1deg，再入點偏差在600km量級。

表2～表7說明，如果要完成月地轉移任務，將返回器返回至預定的著陸場，需要進行中途軌道修正。

4 月地轉移第一次中途軌道修正的時間分析

基于前面的調研分析，本文不加論證的給定月地轉移中途軌道修正次數為2次。

假定速度有1m/s的誤差，在探測器進入月地轉移軌道后不同的時刻（2～71h）進行修正，修正脈沖與修正時刻的關系見圖4～圖5。

由圖4～圖5可以看出，在進入月地轉移軌道的初始幾十個小時內，修正時刻越早，需要的速度修正脈沖越小，但修正量變化緩慢。在到達再入點的前6個小時內，速度修正脈沖變化比較劇烈，從約50m/s增大到約500m/s，誤差隨著探測器運行時間的增大逐漸放大，因此，從節省能量的角度，月地轉移第一次中途修正時間越早越好。根據由圖4～圖5，速度方向1m/s的速度殘差被放大到10m/s（10倍）需要約50h，放大到 5m/s（5 倍）需要 40h，放大到 2.5m/s（2.5倍）需要20h，因此，建議月地轉移第一次中途修正在月地加速后40h之前，此時誤差放大的量級在初始速度偏差的5倍范圍內。

圖4 第1～60h修正對應的修正脈沖曲線

圖5 第60～71h修正對應的修正脈沖曲線

另一方面，如果第一次修正時刻太早，則殘余誤差會更多的被放大，會加重以后的修正任務；另外，進入月地轉移軌道后，地面對探測器的跟蹤定軌還需要一段時間，一般在月地轉移加速12h以后比較合適。

因此，在沒有對誤差放大量級的具體約束條件下，粗定月地轉移第一次中途修正在12h～40h之間，后續仿真暫定為20h。

5 環月軌道參數對中途軌道修正量的影響

當探測器進入月地轉移軌道的狀態相對于標稱狀態有偏差時，在修正時刻（本文在入軌后20h修正）給探測器施加一個速度脈沖，使其到達再入點的狀態滿足預定條件，以下討論速度修正脈沖的大小與環月軌道參數誤差量的關系。

近地點高度的誤差對軌道的影響比較明顯，見圖6，修正量和誤差量成正比。近地點高度1km的誤差，需要1.8m/s的速度增量修正。

升交點赤經的誤差對軌道的影響見圖 7，修正量和誤差量成正比。升交點赤經0.1deg的誤差，需要2.7m/s的速度增量修正。

近月點幅角的誤差對軌道的影響見圖8，修正量和誤差量成正比。近月點幅角0.1deg的誤差，需要2.5m/s的速度增量修正。

月地加速時間的誤差對軌道的影響見圖9，修正量和誤差量成正比。月地加速時間1min的誤差，需要0.3m/s的速度增量修正。

圖6 修正脈沖隨近地點高度誤差的變化曲線

圖7 修正脈沖隨升交點赤經誤差的變化曲線

圖8 修正脈沖隨近月點幅角誤差的變化曲線

圖6～圖9顯示，偏差量和修正量有近似線性的的關系，20h誤差修正量可根據實際偏差量近似的估計出來。

6 月地轉移第二次中途軌道修正的時間分析

第一次中途修正后，速度方向上仍然會存在一定的殘余誤差，以1m/s的殘余誤差分析，分析三方向速度殘余誤差對落點的影響，即在第20h以后的軌道上的某一時刻，速度拉偏1m/s，計算拉偏前后的軌道到達再入點的偏差，見圖10。

從圖 10可知，第二次中途修正（最后一次）時間越早，其速度殘差對落點偏差的影響越大。如果從月地轉移第20h進行修正，三方向1m/s的速度偏差會分別造成再入點約800km、750km和60km的偏差；如果在再入前1h進行修正，1m/s的速度偏差會造成三方向造成6km、4km和2km的位置偏差。因此，從落點精度的保證來說，第二次中途修正越晚越好。

圖9 修正脈沖隨發射時間誤差的變化曲線

圖10 不同時刻各方向1m/s的偏差對再入點的影響

同樣從誤差發散的角度，第一次中途修正帶來一定的殘余誤差，第二次中途修正越晚所需要的修正量越大，這點從圖4～圖5可以證明，而且特別明顯的是，速度殘差的發散在到達地球前3h劇烈的增大。因此，從節約能量的角度來說，第二次中途修正越早越好，特別是在到達地球前3h之前的時刻修正。

一般的，月地轉移以保證落點精度為首要任務，但是仍需避免在速度殘差發散劇烈的階段進行修正，因此，建議在再入前3h左右施加第二次中途修正，這也是Apollo飛船選擇再入前3h左右進行中途修正的原因。

7 結論

本文對月地轉移中途軌道修正進行了研究，通過建立探測器在地—月系統的動力學模型，簡要分析了初始入軌誤差對再入點偏差的影響。本文還利用地月/月地轉移的中途軌道修正模型和微分修正算法，分析了在存在環月軌道偏差的條件下，月地轉移軌道誤差隨月地轉移時間的發散過程，給出初始偏差發散2.5倍、5倍和10倍大約所經歷的時間。

本文分析第二次中途軌道修正的方法和分析第一次中途軌道修正的方法類似，同樣是分析第一次修正后的殘余誤差在月地轉移軌道上的發散過程，對再入點的偏差進行分析，該分析可以解釋Apollo載人飛船第二次中途軌道修正的時間選擇。

受篇幅所限，本文僅僅對由于入軌誤差的影響而進行月地轉移中途軌道修正的一類情況進行了簡要的分析，對于改變目標軌道的一類中途軌道修正沒有研究，這一類的問題與自由返回軌道和混合軌道的設計關系密切，需要結合實際的載人登月任務進行設計。◇

［1］楊維廉，周文艷.嫦娥一號月球探測衛星軌道設計［J］.航天器工程，2007，16（8）:16-24.

［2］周文艷，楊維廉.月球探測器轉移軌道的中途修正［J］.宇航學報，2004，25（1）:89-92.

［3］楊維廉，周文艷.嫦娥一號衛星地月轉移軌道中途修正分析[J].空間控制技術與應用，2008，34（6）:3-7.

［4］Manned Spacecraft Center.Apollo 11 Mission Report.MSC-00171.

［5］ Holley，M.D.，Swingle，W.L.，et al.:Apollo Experience Report-Guidance and Control Systems:Primary Guidance，Navigation，and Control System Development.NASA TN D-8227，1976.