一類常系數線性微分方程特解的求法

李 嵐

(閩西職業技術學院電氣工程系，福建 龍巖 364021)

0 引言

n階常系數非齊次線性微分方程的一般形式:

相應的齊次方程為:

根據線性微分方程的通解結構理論，方程(1)的通解可以表示為方程(1)的一個特解與方程(2)的通解之和，而方程(2)的通解的求法一般采用Euler待定指數函數法(即特征根法)，因此要求方程(1)的通解，只要求出方程(1)的一個特解即可。

常系數非齊次線性微分方程特解的求法通常使用常數變易法、待定系數法、算子解法和拉普拉斯變換法，這些方法各具特色。如，待定系數法，雖然解題思路簡單，易于掌握，但不具有一般性，計算比較繁瑣，容易出錯。本文先給出一階常系數非齊次線性微分方程的特解求解公式，一階常系數非齊次線性微分方程:

1 主要定理和性質

1.1 微分算子與逆算子及其性質

1.1.1 微分算子

稱P(D)=Dn+p1Dn－1+…+pn－1D+pn為算子多項式，方程(4)可簡記為:

1.1.2 逆算子

1.1.3 逆算子位移定理

1.2 基本定理

由不定積分公式:

可推得:

定理1 設非齊次線性微分方程(3)對應的齊次方程的特征根為λ，則:

1)當α≠λ時，方程(3)一特解為:

2)當α=λ時，方程(3)一特解為:

證明

1)當α≠λ時，由算子性質及引理1可得:

結論成立。

由于n次數多項式P(D)在復數范圍內可因式分解為n個一次多項式的乘積，即P(D)=(D－λ1)(D－λ2)…(D－λn)(其中可能發生 λi=λj(1≤i，j≤n)的重根現象)，因此對于求n階常系數非齊次線性微分方程(1)的特解時，可多次重復使用定理1，從而達到求解的目的。

2 應用舉例

例1 求微分方程x'－2ix=e2t(4t+2)的特解。

解 對應齊次方程的特解是λ=2i。由自由項 e2t(4t+2)可知，α =2，a1=4，a0=2，且 α≠λ，所以所求非齊次線性微分方程的特解為:

例2 求微分方程x'－2x=(13t－4)cos 3t的特解。

解 對應齊次方程的特解是λ=2。微分方程中的自由項(13t－4)cos 3t可采用歐拉公式化為 Re[e3it(13t－4 ) ] 。可知 α=3i、a1=13、a0=－4，且α≠λ，所以所求非齊次線性微分方程的特解為:

例3 求微分方程x″+5x'+6x=e－2t(t2+3t－5)的特解。

解 對應齊次方程的特解是λ1=－3，λ2=－2。由自由項 e－2t(t2+3t－5)可知，α =－2，a0=－5，a1=3，a2=1，且 α = λ2，所以所求非齊次線性微分方程的特解為:

其中，b0= －6，b1=1，b2=1。

例4 求微分方程x?－5x″+9x'－5x=et(3t2－13t+14)的特解。

解 對應齊次方程的特解是λ1=1，λ2=2+i，λ3=2 －i。由自由項 et(3t2－13t+14)可知，α =1，a0=14，a1=－13，a2=3，其中 αλ1所以所求非齊次線性微分方程的特解為:

3 結語

本文針對一類一階常系數線性微分方程(3)，運用積分公式和算子法推導了微分方程特解的求解方法，不僅方法較為簡單，并可多次重復使用定理1計算出n階常系數線性微分方程(1)當自由項f(t)=eαtQm(t)時)的特解，還能為求微分方程(1)的特解的解析解提供依據。

［1］王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［2］華東師范大學數學系.數學分析(下冊)［M］.3版，北京:高等教育出版社，2002.

［3］同濟大學教研室.高等數學(下冊)［M］.4版，北京:高等教育出版社，1996.