軟土隧道橫向抗震分析的簡化響應位移法

黃茂松 ，劉鴻哲 ，曹 杰

（1.同濟大學 地下建筑與工程系，上海 200092；2.同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海 200092；3. 中國民航機場建設集團公司 機場工程科研基地，北京 100621）

1 引 言

長期以來，人們一直借鑒上部結構的抗震設計方法來對地下建構筑物進行抗震設計，而且普遍認為，地下結構具有良好的抗震性能，因此，在這方面的研究并不深入。直到1995年的日本神戶地震，一些地鐵車站和區間隧道遭到了嚴重破壞[1]，這才引起了研究工作者對地下結構抗震問題的重視。地下隧道作為城市生命線工程的重要組成部分，其抗震安全性就顯得尤為重要。近年來，國內外學者在這方面開展了大量的研究，提出了多種設計分析方法。Penzien 等[2－3]、Davis等[4]、Hashash 等[5]、Huo等[6]、張棟梁等[7]提出了在地震荷載作用下隧道截面內力及變形計算的解析方法。Gil等[8]以有限單元法分析結果為基礎，提出了在垂直入射的剪切波及壓縮波作用下方形截面隧道地震內力的簡化計算方法。Pakbaz等[9]采用二維有限差分計算程序，研究了地震作用下土與隧道襯砌間的相互作用。黃茂松等[10]基于平面應變假定，采用彈性理論推導了圓形孔洞土彈簧剛度的解析表達式，并在此基礎上建立了圓形隧道橫向地震響應的簡化響應位移法。

可以發現，常用的隧道橫向抗震分析方法，從力學特性上可分為地層－結構整體動力時程分析法、擬靜力法和靜力法（地震系數法）3大類。其中，整體動力時程分析方法涉及到黏彈性邊界的設置及土體非線性等問題，計算過程十分復雜，因此，很難推廣應用到具體的工程設計中。而擬靜力法形式相對簡單，同時又較傳統的地震系數法[11]考慮的因素更為全面，因此，是一種較實用的計算方法。在隧道的橫截面抗震設計中，常用的擬靜力法主要有自由場變形法[12]、響應位移法[13]、BART法[14]、相對剛度法[15]等。其中，響應位移法引入了能夠體現土與結構剛度差異的土彈簧，考慮了土與結構的動力相互作用，因此，是一種更為精確和合理的分析方法。

本文主要研究在垂直基巖入射的剪切波作用下軟土隧道的橫向抗震設計問題，采用的方法為響應位移法。首先介紹了響應位移法的計算原理及詳細的計算過程，然后基于整體動力時程分析方法，以方形截面隧道為例，將響應位移法的計算結果與整體動力有限元進行對比，從而驗證了響應位移法的合理性。響應位移法中的土彈簧剛度一般采用靜力有限元的手段獲得，本文出于簡化響應位移法計算的目的，采用平面應變假定，利用彈性理論的復變函數解法推導了土彈簧剛度的解析表達式，然后將土彈簧剛度、地層應力及自由場反應位移的簡化模式應用到響應位移法中，并結合整體動力有限元方法進行對比分析，驗證了簡化后的響應位移法的準確性。

2 響應位移法的計算與驗證

2.1 響應位移法計算原理

響應位移法的計算原理主要是根據地下結構的地震反應主要取決于周圍地層相對位移這一特性，將天然地層的地震反應位移差以靜荷載的方式施加在土彈簧遠端，以此來求得隧道結構的內力和變形。計算時主要考慮自由場反應位移、地層剪力及慣性力3種荷載作用，在實際的隧道橫截面抗震設計中，首先進行自由場土體地震反應分析，提取自由場中相當于隧道所在位置處隧道頂部和底部間發生最大相對變形時刻的內力及變形值；然后將此時刻的土體反應位移差施加在土彈簧遠端，將地層剪力施加在隧道四周，將慣性力施加在隧道結構上，對隧道結構進行靜力建模求解。計算模型如圖1所示。

圖1 響應位移法計算簡圖Fig.1 Calculational diagram model of response displacement method

2.2 自由場位移及地層剪力計算

自由場地震反應位移可通過一維等效線性化SHAKE程序或者二維動力有限元獲得，本文采用的方法是二維動力有限元法。以自由場中隧道頂部和底部產生最大相對變形的時刻為準，提取此時刻的地層反應位移及地層剪應力。在進行動力有限元分析時，需要在側向施加人工黏彈性邊界，以模擬無限地基的輻射阻尼及彈性恢復效應。

2.3 土彈簧剛度的計算

土彈簧剛度可采用靜力有限元法獲得，將隧道部分看作一個空洞，分別在空洞法向及切向施加單位荷載，以此來求得周圍土的剛度系數。側向土彈簧剛度的計算如圖2所示，同理可計算出頂板和底板處地層彈簧系數。

圖2 土彈簧剛度計算方法Fig.2 Calculation method for soil spring stiffness

2.4 響應位移法驗證

本文采用地層-結構整體動力有限元方法，對響應位移法進行驗證。計算模型寬度為200 m，深度為70 m，隧道尺寸為8.5 m×8.5 m。隧道結構用梁單元模擬，土體采用平面應變實體單元模擬。模型底部固結，側向施加黏彈性人工邊界，計算模型如圖3所示，圖4為輸入的地震波曲線。計算中所采用的物理力學參數見表1。

圖3 整體動力有限元法計算模型Fig.3 Computational model of whole dynamic finite element method

圖4 地震加速度時程曲線Fig.4 Time history curve of seismic acceleration

表1 物理力學參數Table 1 Physico-mechanical parameters

圖5及圖6分別為響應位移法和動力有限元的計算結果，通過對比可以發現，響應位移法的內力分布圖與動力有限元法基本一致，內力的極值位置均出現在隧道4個角點處，而且內力都關于過隧道中心的豎向軸呈對稱分布。除此之外，經過大量的算例分析表明，慣性力對隧道結構的內力影響非常小，大約在1%左右，因此，可以完全忽略慣性力。這從另一個方面也說明，隧道由于受到周圍土的約束，其本身的慣性特性發揮不出來，土結構之間的動力相互作用要遠大于慣性相互作用。

圖5 響應位移法計算結果Fig.5 Calculation results of response displacement method

圖6 動力有限元法計算結果Fig.6 Calculation results of whole dynamic element

3 基于土彈簧剛度解析形式的簡化響應位移法

在響應位移法的計算中，土彈簧剛度通過靜力有限元求得，而地層位移及地層應力則通過動力有限元求得，因此，計算過程復雜，很難應用到具體的工程設計中。基于此，本文推導了土彈簧、地層位移及應力的解析表達式。

3.1 土彈簧剛度的推導過程

基于平面應變假定，采用彈性理論的復變函數法[16]推導了無限大土體中方形孔洞周圍土體彈簧剛度的解析表達式。計算模型如圖7所示，分別在孔洞內邊界施加單位法向及單位切向荷載，求得此時孔邊的變形，進而求得彈簧剛度。由模型A可求得法向彈簧剛度，由模型B可求得切向彈簧剛度。

圖7 土彈簧剛度計算模型Fig.7 Calculational models of soil spring stiffness

平面應力函數U可以用兩個解析函數φ1(z)和χ1(z)來表示，表達式如下：

因此，位移也可通過解析函數φ1(z)和χ1(z)來表達，表達式為

式中：G為剪切模量；u和v為位移分量；ν為泊松比； χ1′ (z)=ψ1(z)。

無限域上的復位勢公式為

式中：fx、fy為孔邊荷載合力分量；B和B′+iC′可通過式（8）、（9）求得。

φ0(ζ)、ψ0(ζ)可通過式（10）和式（11）求得。

從上面幾式可看出，只要知道了孔邊面力及無窮遠處的應力狀態，就可求得復位勢，進而求得應力和位移。對于模型A，可取保角變換函數為

結合孔邊及無窮遠處的邊界條件可得：

將式（12）、（13）一起代入式（10）、（11）中，可得：

將（14）、（15）代入式（5）中，可得

因此，孔口處法向彈簧剛度為

沿隧道周邊任意給定一個α值，就可根據式（12）求出對應z平面上的點。

同理，可求得模型B的復位勢為

泛酸激酶2相關的神經變性病的臨床特點（附1例報告） … ………………… 李雯雯，孫啟英，易芳，等 61

由此可求得孔口處切向彈簧剛度為

為了對解析解進行驗證分析，本文以方形隧道周圍法向土彈簧剛度為例，對解析解和有限元解進行對比分析。有限元模型仍采用前文提供的物理力學參數，對比結果如圖8所示。

從圖8可以看出，側墻的解析解和有限元解的吻合程度要優于底板和頂板，原因是解析解和有限元解的邊界條件是不一樣的。解析解是基于無限域提出的，而有限元解則考慮了實際隧道的埋深，因此，二者之間必然會產生差別，而且這種差別會隨著隧道埋深的增加而減小。當隧道埋深非常深時，二者的解將會非常吻合。同時，從圖上也可看出，隧道角點處的差別遠大于隧道邊中的差別，這是因為方形隧道的4個角點會產生應力集中的現象，而且本文的保角變換函數取的項數較少，造成了角點處的形狀差異較大。

3.2 地層位移及剪應力的簡化計算

（1）地層位移的簡化

當考慮隧道等地下結構的橫向抗震問題時，可將自由場沿隧道深度方向的反應位移假定為余弦模式，即

式中：Su為基底速度反應譜；Ts為地層固有周期；H′為基巖上覆土層厚度。

地層固有周期Ts可通過剪切波速和地層厚度計算，即

圖8 法向彈簧剛度對比Fig.8 Comparisons of normal soil spring stiffness

Su為震動基準面速度反應譜，可通過下式計算

Sv為單位水平地震系數的速度反應譜，可根據文獻[13]確定，如圖9所示；Kh為水平地震系數，可由地震動峰值加速度確定。

圖9 單位水平系數的速度反應譜Fig.9 Velocity response spectrum for unit horizontal seismic coefficient

（2）地層應力的簡化

Penzien在文獻[3]中指出，由于隧道橫截面的尺寸遠小于地震動的波長，因此，當剪切波垂直基巖向上入射時，自由場和隧道之間的相互作用為均勻剪切作用，變形如圖10所示。本文基于此，并采用上文中提出的簡化位移計算模式，推導了地層應力的簡化計算方法。

圖10 自由場土變形圖Fig.10 Deformation of free field soil

地層應力可有下式近似求出

式中：Gs為土體剪切模量；H′為隧道高度；tc為產生最大變形時刻；zt、zb分別為隧道頂部和底部位置。

3.3 對比驗證

以整體動力有限元的計算結果為準，對簡化后的響應位移法進行驗證，計算模型仍采用上述的計算模型，計算結果如圖11所示。

從圖11中可以看出，簡化后的響應位移法計算結果與整體動力有限元法符合較好，內力分布規律一致，極值仍出現在隧道4個角點處，只是數值比簡化前的響應位移法偏低，軸力及剪力的減小量較彎矩要多，造成這種現象的原因是土體彈簧系數的解析表達式帶來的誤差。

表2為簡化響應位移法與整體動力有限元法和響應位移法計算得到的軸力、剪力以及彎矩最大值和最小值的對比。表中方法1為采用整體動力有限元求解，方法2為響應位移法，方法3為簡化的響應位移法。

從表2可看出，方法3計算出的隧道內力分布規律與方法1和方法2均一致，最大和最小值位置均出現在隧道4個角點處。除此之外，方法3得到的內力極值要明顯低于方法 2，造成這種差異的原因是方法3采用了無限大彈性體假定來計算土彈簧剛度。但對于具體的工程設計，方法3和方法2的誤差（彎矩10%，軸力30%）仍在可接受的范圍內，這也說明本文提出的簡化響應位移法是一種快速實用的計算方法，能夠滿足工程精度的要求。

圖11 簡化響應位移法計算結果Fig.11 Calculational results of simplified response displacements

表2 3種方法的對比結果Table 2 Results of comparison among three methods

4 結 論

（1）本文推導了土彈簧剛度、地層位移和地層剪應力的解析表達式，建立了簡化的響應位移法，此種方法比傳統的響應位移法計算更方便，表達式更簡單，易于應用到具體的工程設計中。而且，此種方法也同樣適用于圓形、矩形等其他截面形式的隧道。

（2）本文在推導土彈簧剛度的解析表達式時，采用了無限大土體的假定，這與實際的情況有所出入，但經過計算結果驗證，表明此種處理措施對隧道內力的影響，仍能滿足工程精度的要求。

[1]HASHASH Y M A, HOOK J J, SCHMIDT B, et al.Seismic design and analysis of underground structures[J].Tunnelling and Underground Space Technology, 2001,16(4): 247－293.

[2]PENZIEN J, WU C. Stresses in linings of bored tunnels[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1998, 27: 283－300.

[3]PENZIEN J. Seismically induced cracking of tunnel linings[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2000, 29: 683－691.

[4]DAVIS C A, LEE V W, BARDET J P. Transverse response of underground cavities and pipes to incident SV waves[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2001, 30: 383－410.

[5]HASHASH Y M A, PARK D, YAO J I. Ovaling deformations of circular tunnels under seismic loading, an update on seismic design and analysis of underground structures[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2005, 20: 435－441.

[6]HUO H, BOBET A, FERNANDEZ G, et al. Analytical solution for deep rectangular structures subjected to far-field shear stresses[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2006, 21: 613－625.

[7]張棟梁, 楊林德, 謝永利, 等. 盾構隧道抗震設計計算的解析解[J]. 巖石力學與工程學報, 2008, 27(3): 543－549.ZHANG Dong-liang, YANG Lin-De, XIE Yong-li, et al.Analytical solution for aseismic design calculation of shield tunnels[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2008, 27(3): 543－549.

[8]GIL L M, HERNANDEZ E, FUENTE P. Simplified transverse seismic analysis of buried structures[J]. Soil Dynamic and Earthquake Engineering, 2001, 21: 735－740.

[9]PAKBAZ M C, YAREEVAND A. 2-D analysis of circular tunnel against earthquake loading[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2005, 20: 411－417.

[10]黃茂松, 曹杰. 隧道地震響應簡化分析與動力離心試驗驗證[J]. 巖石力學與工程學報, 2010, 29(2): 271－280.HUANG Mao-song, CAO Jie. Simplified analysis of tunnel earthquake response and centrifuge modeling calibration[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2010, 29(2): 271－280.

[11]WANG J N. Seismic design of tunnels: A state-of-the-art approach[M]. New York: [s.n.], 1993.

[12]Newark N M. Problems in wave propagation in soil and rock[C]//Proceedings of the International Symposium on Wave Propagation and Dynamic Properties of Earth Materials. Albuquerque: [s. n.], 1968: 7－26.

[13]川島一彥. 地下構筑物の耐震設計[M]. 日本: 鹿島出版會, 1994.

[14]THOMAS R K. Earthquake design criteria for subways[J].Journal of the Structural Division, ASCE, 1969, (6):1213－1231.

[15]BURNS J Q, RICHARD R M. Attenuation of stresses for buried cylinders[C]//Proceedings of the Symposium on Soil-Structure Interaction. Arizona: University of Arizona,1964: 378－392.

[16]吳家龍. 彈性力學[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002.