基于GM(1，1)模型數(shù)據(jù)的曲線擬合預(yù)測(cè)方法在武咸城際鐵路中的應(yīng)用研究

葉珉?yún)?，花向紅，劉金標(biāo)，楊發(fā)群

(1.武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北武漢 430079; 2.武漢市勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，湖北武漢 430022;3.武漢大學(xué)災(zāi)害監(jiān)測(cè)與防治研究中心，湖北武漢 430079)

1 引言

城際鐵路是高速鐵路的一種，是指在人口稠密的都市圈或者城市帶規(guī)劃和修建的高速鐵路客運(yùn)專線系統(tǒng)，其特點(diǎn)是短距離、公交化。我國城際鐵路大量采用無砟軌道技術(shù)，其突出的特點(diǎn)是軌道的高平順性和高精度。線路的平順性差將使列車在高速行車條件下，在平穩(wěn)性、舒適性及安全性等方面深受影響，甚至導(dǎo)致列車脫軌［1］。因此，無砟軌道為保證線路的高平順性，對(duì)城際鐵路橋梁、路基、涵洞、隧道、過渡段等線下工程沉降量有著嚴(yán)格的要求，必須進(jìn)行預(yù)測(cè)評(píng)估，以此確定鋪設(shè)無砟軌道的時(shí)間。目前，城際鐵路線下工程沉降預(yù)測(cè)一般使用曲線擬合法。為了彌補(bǔ)曲線自身收斂性質(zhì)導(dǎo)致的對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合和預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)值的差異，評(píng)估中一般要求以3個(gè)月為周期反復(fù)進(jìn)行曲線擬合以不斷逼近真實(shí)的沉降變形狀況，且規(guī)定間隔不少于3個(gè)月的兩次曲線擬合預(yù)測(cè)的最終沉降的差值應(yīng)小于8 mm［2］，但由此帶來的是觀測(cè)周期長(zhǎng)、工作量大及經(jīng)費(fèi)高等問題。GM(1，1)模型精度較高，其預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)結(jié)果較為接近，但由于其是一個(gè)增長(zhǎng)的模型，具有無限增長(zhǎng)的特性，且需要不斷有“新鮮”數(shù)據(jù)補(bǔ)充進(jìn)去以保證其預(yù)測(cè)精度，因此GM(1，1)模型作短、中期預(yù)測(cè)是合適的，作長(zhǎng)期預(yù)測(cè)可靠性明顯削弱［3］。為了解決上述兩個(gè)問題，本文首先對(duì)傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法進(jìn)行對(duì)比分析，然后綜合考慮曲線擬合法與GM(1，1)模型的優(yōu)點(diǎn)，提出將基于GM(1，1)模型數(shù)據(jù)的曲線擬合預(yù)測(cè)方法用于城際鐵路線下工程沉降情況的預(yù)測(cè)評(píng)估。

2 預(yù)測(cè)方法

2.1 曲線擬合法

目前，基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的沉降預(yù)測(cè)方法主要有曲線擬合法、灰色理論及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，其原理都是直接分析沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，進(jìn)而推算出未來時(shí)刻的沉降發(fā)展情況。其中，工程中常用的曲線擬合法主要有雙曲線法、指數(shù)曲線法、拋物線法等。

(1)雙曲線法

雙曲線法是假定下沉平均速度以雙曲線形式減少的經(jīng)驗(yàn)推導(dǎo)方法［4］，其公式為:

式中，t0、S0分別為擬合計(jì)算起始參考點(diǎn)的時(shí)間與對(duì)應(yīng)的沉降值;t、St分別為擬合曲線上任意點(diǎn)的時(shí)間與對(duì)應(yīng)的沉降值S∞為最終沉降量(t=∞);a、b為將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)經(jīng)過回歸求得的系數(shù)。

(2)指數(shù)曲線法

指數(shù)曲線法是假定下沉平均速度以指數(shù)曲線形式減少的經(jīng)驗(yàn)推導(dǎo)方法［4］，其公式為:

公式中 t0、S0、t、St、S∞、a、b 的定義與雙曲線法一致。

2.2 GM(1，1)模型

灰色系統(tǒng)理論［5］是一種綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)信息不完全的系統(tǒng)進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)的理論方法。灰色模型通常表示為GM(m，n)，其中m表示模型微分方程的階數(shù)，n表示預(yù)測(cè)變量的個(gè)數(shù)。作預(yù)測(cè)分析用的灰色模型一般為GM(1，n)，其中最重要的同時(shí)也是工程實(shí)際中應(yīng)用最廣的是單一變量的GM(1，1)模型。

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為:

即可得到一次累加生成序列:

對(duì)此生成序列建立一階微分方程:

記為GM(1，1)。式中，a和u是灰參數(shù)，其白化值(灰區(qū)間中的一個(gè)可能值)為 ^a=［a u］T。用最小二乘法求解，得:

對(duì)^x(1)(k+1)作累減生成可得還原數(shù)據(jù):

式(10)、(11)即為灰色預(yù)測(cè)的兩個(gè)基本模型。當(dāng)k＜n時(shí)，稱^x(0)(k)為模型模擬值;當(dāng)k=n時(shí)，稱^x(0)(k)為模型濾波值;當(dāng)k＞n時(shí)，稱^x(0)(k)為模型預(yù)測(cè)值。

2.3 基于GM(1，1)模型數(shù)據(jù)的曲線擬合預(yù)測(cè)方法

基于GM(1，1)模型數(shù)據(jù)的曲線擬合預(yù)測(cè)方法綜合利用曲線擬合法與GM(1，1)模型的優(yōu)點(diǎn)，其基本思想是根據(jù)GM(1，1)模型精度較高的優(yōu)點(diǎn)，利用其擬合值與短期或中期的預(yù)測(cè)值對(duì)擬合曲線進(jìn)行“修正”。具體步驟如下:

(1)分別使用曲線擬合法與GM(1，1)模型對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合及預(yù)測(cè)分析;

(2)將GM(1，1)模型計(jì)算出來的擬合值和預(yù)測(cè)值分別代替擬合曲線相應(yīng)的擬合值和預(yù)測(cè)值;

(3)將代替后的數(shù)值與原擬合曲線的其他數(shù)值一起形成一條新的擬合曲線。

新曲線即可作為最終的沉降預(yù)測(cè)模型。

3 工程實(shí)例分析

武咸城際鐵路位于湖北省南部，自武漢樞紐武昌站引出，途經(jīng)東湖新技術(shù)開發(fā)區(qū)、廟山經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)、江夏區(qū)紙坊鎮(zhèn)、于賀站進(jìn)入咸寧市境內(nèi)。全線運(yùn)營長(zhǎng)度90.12 km，新建正線長(zhǎng)度77 km，正線部分均為無砟軌道。限于篇幅，本文僅選取橋梁墩臺(tái)的沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)。以武咸城際鐵路湯遜湖特大橋DK012+690.465墩為例。通過長(zhǎng)期觀測(cè)后，利用觀測(cè)的高程計(jì)算得到的累計(jì)沉降量與時(shí)間的關(guān)系如表1所示。

湯遜湖特大橋DK012+690.465墩左累計(jì)沉降表 表1

由表1數(shù)據(jù)可以看出，觀測(cè)初期沉降較快，直到架梁前已經(jīng)趨于穩(wěn)定狀態(tài)。架梁后，由于荷載的增加，橋梁墩臺(tái)在荷載的作用下開始另一階段的沉降變形，因此可以僅選取架梁后這一階段的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行沉降分析與預(yù)測(cè)。

分別使用雙曲線法、指數(shù)曲線法與GM(1，1)模型對(duì)表1實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果如圖1與表2所示，其中GM(1，1)模型的原始數(shù)據(jù)序列僅選取靠近被預(yù)測(cè)值的最新的幾期數(shù)據(jù)，因?yàn)閿?shù)據(jù)過多，時(shí)間跨度長(zhǎng)，其中包含的噪聲多，模型精度反而會(huì)降低［6］。GM(1，1)模型經(jīng)后驗(yàn)差方法檢驗(yàn)，C=0.088 2，P=1，模型精度為1級(jí);雙曲線擬合相關(guān)系數(shù)為0.978，標(biāo)準(zhǔn)差為±0.013;指數(shù)曲線擬合相關(guān)系數(shù)為0.975，標(biāo)準(zhǔn)差為±0.014。

圖1 三種模型結(jié)果對(duì)比

三種模型結(jié)果對(duì)比/mm 表2

由圖1與表2可知，雙曲線法和指數(shù)曲線法整體上對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果都較為良好，但由于曲線自身收斂性質(zhì)的限制，曲線對(duì)后期數(shù)據(jù)的擬合和預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)值都有較大差異，而且指數(shù)曲線法較雙曲線法收斂更快，其對(duì)后期數(shù)據(jù)的擬合和預(yù)測(cè)結(jié)果更較雙曲線法稍差。GM(1，1)模型較曲線擬合法所需數(shù)據(jù)量大大減少，且擬合精度高，其預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)結(jié)果最為接近，更有利于工程安全。但為了解決引言提出的兩個(gè)問題，本文提出使用基于GM(1，1)模型數(shù)據(jù)的曲線擬合預(yù)測(cè)方法。

仍以武咸城際鐵路湯遜湖特大橋DK012+690.465墩為例，利用GM(1，1)模型的擬合值和預(yù)測(cè)值對(duì)雙曲線對(duì)應(yīng)的擬合值進(jìn)行“修正”，得到一條新的擬合曲線，其結(jié)果如圖2所示。

圖2 預(yù)測(cè)新方法結(jié)果比較

根據(jù)城際鐵路線下工程評(píng)估細(xì)則，認(rèn)為當(dāng)曲線回歸的相關(guān)系數(shù)不低于0.92時(shí)，所確定的沉降變形趨勢(shì)是可靠的;當(dāng)預(yù)測(cè)的6個(gè)月以后的沉降與實(shí)際沉降的偏差小于8 mm時(shí)，說明預(yù)測(cè)是穩(wěn)定的;但要達(dá)到準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)還要求最終建立沉降預(yù)測(cè)的時(shí)間t應(yīng)滿足:S(t)/S∞≥0.75。“修正”后的雙曲線對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)擬合的相關(guān)系數(shù)為0.952 3，預(yù)測(cè)的6個(gè)月以后的沉降值6.20 mm與實(shí)際沉降值 6.36 mm的偏差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于8 mm，而建立沉降預(yù)測(cè)時(shí)的沉降量6.16 mm與根據(jù)曲線預(yù)測(cè)的最終沉降量7.04 mm的比值為0.88＞0.75，皆滿足城際鐵路線下工程評(píng)估細(xì)則的要求，而且由于新曲線包含有預(yù)測(cè)精度較高的數(shù)據(jù)，使得曲線在不進(jìn)行實(shí)測(cè)的情況下也能最好地逼近真實(shí)的沉降變形狀況。因此，基于GM(1，1)模型數(shù)據(jù)的曲線擬合預(yù)測(cè)方法用于城際鐵路沉降變形觀測(cè)的預(yù)測(cè)、評(píng)估是可行的。

4 結(jié)論

本文通過多模型的對(duì)比分析，綜合考慮曲線擬合法與GM(1，1)模型的優(yōu)點(diǎn)，提出將基于GM(1，1)模型數(shù)據(jù)的曲線擬合預(yù)測(cè)方法用于城際鐵路線下工程沉降情況的預(yù)測(cè)評(píng)估。通過武咸城際鐵路工程實(shí)例的驗(yàn)證，說明此方法用于沉降變形觀測(cè)的預(yù)測(cè)、評(píng)估是可行的。

［1］鐵道部.客運(yùn)專線無砟軌道鐵路工程測(cè)量暫行規(guī)范［S］.北京:中國鐵道出版社，2006(189)號(hào).

［2］湖北城際鐵路有限責(zé)任公司.武漢城市圈城際鐵路沉降變形觀測(cè)實(shí)施細(xì)則［R］.2010.

［3］吳劍，劉昌輝，張迎春.軟基路堤最終沉降量的灰色預(yù)測(cè)［J］.城市勘測(cè)，2003(3):6～9.

［4］鐵道部工程管理中心.客運(yùn)專線鐵路變形觀測(cè)評(píng)估技術(shù)手冊(cè)［R］.北京:中國鐵道出版社，2009.

［5］黃聲享，尹暉，蔣征.變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2003.

［6］鄧聚龍.灰色系統(tǒng)基本方法［M］.武漢:華中理工大學(xué)出版社，2005.