基于遺傳算法的鐵心電抗器優化設計

王延偉，劉 驥，于會鳳

(哈爾濱理工大學工程電介質及其應用技術教育部重點實驗室，黑龍江哈爾濱150080)

0 引言

鐵心電抗器的優化設計是指在滿足規定的電磁性能指標條件下，確定某一目標，運用一定的優化算法，尋求出最優的產品設計方案［1］。目前，許多算法被引入電氣產品的設計領域，如隨機試驗法、蟻群算法、粒子群算法等［2］，但這些算法對鐵心電抗器的優化設計而言，都不是很理想，不可避免地存在一定的局限性，如運算量大，求解效率低;算法本身不能確保全局尋優;算法通用性差，程序不能方便的進行移植;算法對于復雜的混合離散變量優化問題無能為力等等［3－5］。因此，在20世紀60年代中期，美國著名科學家 J．H．Holand提出了遺傳算法(GA)，它是一類模擬生物進化過程與機制求解問題的自適應人工智能技術，是模擬自然界生物進化過程的一類自組織、自適應的全局優化算法。它具有很強的解決問題能力和廣泛適應性。近年來，遺傳算法已被成功的應用于經濟管理、交通運輸、工業設計等不同領域，并且在逐步地成熟和完善［6］。

1 遺傳算法

1.1 遺傳算法的原理

遺傳算法以達爾文的生物進化論為基礎，遵循適者生存的原則，合適的個體被保留，不合適的個體被淘汰。遺傳算法的尋優過程是一個反復迭代過程［7］。在這種機制中，每一代中各個個體(各個設計方案)的基本特征可以通過基因轉換機制被遺傳到下一代中，也就是說在一個給定的代中，代表著一個群體的設計方案相互之間可以復制和交叉，并以一定的概率發生變異，交叉傾向于由群體中最為優秀的個體來承擔，這種群體中相互匹配的個體的最好特性的結合使產生的子代比父代有更加優良的特性，產生好的解。如果變異后的子代性能不佳，則其在以后的選擇中將被淘汰。遺傳算法是一種隨機搜索方法，它的搜索范圍遍及整個解空間因而能以較大的概率求得全局最優解或近似最優解［8－9］。

1.2 遺傳算法的特點

遺傳算法對問題的求解并不依賴于所求問題的性質，不要求目標函數具有諸如連續性、導數存在和單峰等性質。與其它傳統優化方法相比較，遺傳算法具有的特點:遺傳算法以決策變量的編碼作為運算對象，而不使用參數本身;遺傳算法僅使用由目標函數值變換來的適應度函數值進一步確定搜索方向和搜索范圍，無需目標函數的導數值或其他輔助信息;遺傳算法同時使用多個點的搜索信息，因而具有一種內在的并行性;遺傳算法使用概率搜索技術，因而更具有靈活性。實踐與理論證明，在一定條件下，遺傳算法以概率收斂于問題的最優解。

1.3 遺傳算法計算過程

如果工程優化問題為約束型，則先將其轉化為無約束問題(一般采用懲罰函數法)，然后根據目標函數構造適應函數，通過反復執行選擇、交叉和變異三個遺傳運算過程，迭代尋優。遺傳算法實施的基本步驟為:確定尋優參數，進行編碼;隨機生成一組原始群體;計算解群體中各個個體的目標函數值及相應的適應度值;根據解群體中各個基因鏈的適應值，通過選擇運算形成匹配集;通過交叉、變異運算產生下一代群體;終止條件驗證。如不滿足終止條件，返回，進行循環迭代;如滿足，程序結束。遺傳算法的計算流程如圖1所示。

圖1 遺傳算法計算流程圖

1.4 遺傳算子

遺傳算法使用3種遺傳算子，即選擇、交叉、變異。

本文采用的選擇算子是最基本的比例選擇算子，它是一種有退還的隨機選擇，也叫做賭盤選擇。執行過程是:先計算出群體中所有個體的適應度總和，再計算出每個個體的相對適應度大小，最后使用模擬賭盤操作，即通過產生0或1隨機數來確定各個個體被選中的次數。

交叉算子中最常用、最基本的的是單點交叉，執行過程是:對群體中的個體進行兩兩隨機配對，然后對每一對個體隨機設置某一基因座之后為交叉點，再依照設定的交叉概率在其交叉點處相互互換兩個個體的部分染色體，從而產生出兩個新的個體，其過程如圖2所示。

圖2 交叉操作

變異算子是以一個小概率隨機改變染色體串上的某些位，對于本文所使用的二進制編碼就是相應位從1變為0，或從0變為1，變異算子能增加群體的多樣性，其過程如圖3所示。

圖3 變異操作

2 鐵心電抗器優化模型分析

鐵心電抗器通過選擇合適的優化設計變量、目標函數以及約束條件，可描述為

式中:X為優化變量;Ω為解空間;f(X)為目標函數;gi(X)為約束函數;m為約束函數的個數。

2.1 設計變量的選擇

設計變量選擇的原則是選取對電抗器的性能、目標函數和約束函數影響大，且能相應確定其他有關參量的獨立設計參數作為優化設計變量。

2.2 目標函數的選擇

對于電抗器的優化設計，優化的目標函數可以取電抗器的有效材料成本、損耗、溫升等。本文選取電抗器的有效材料成本最低為優化目標，將性能指標條件作為約束函數處理，關系式表示為

式中:C1、C2分別為硅鋼片和銅(或鋁)線的單價，G1、G2分別為硅鋼片和銅(或鋁)線的重量;C0為與設計變量無關的固定費用。

2.3 約束條件及處理方法

約束條件主要包括電抗器的主要性能指標和實際變量上下限約束，如磁通密度、電流密度、損耗、鐵芯和繞組溫升等限制。

由于遺傳算法屬于無約束的優化方法，所以本文采用罰函數法對約束條件進行處理，將約束問題轉化為無約束問題。基本思想是:針對每一個條件約束，在目標函數中增加一個相應的懲罰因子得到一個廣義的目標函數:

式中Ri為懲罰因子，根據各約束的性質不同而取不同的值。

2.4 算法的實現與改進措施

標準遺傳算法存在計算速度較慢、計算量較大等問題，特別是對于電磁優化這類復雜非線性問題的尋優，當搜索空間不能準確定位時，算法很容易陷入局部最優(稱之為“早熟”現象)，或者浪費很長時間而得不到最優解。因此，在遺傳算法的具體實現過程中，采用一些必要的技術可以使遺傳算法更快、更好的收斂。

1)各懲罰項因子的確定以及懲罰函數的構造必須合適，使懲罰項的值接近實際設計值。太小時起不到懲罰作用;懲罰過度則會導致算法得不到正確的搜索信息，從而在接近最優值時不易收斂，所以需要進行多次試驗以確定合理的值。

2)在遺傳算法執行的過程中，同一代中各個個體的目標函數值、適應值都越來越接近，使得遺傳算法的搜索速度變慢，為解決這個問題，設計了適應度函數:

式中，f(X)為適應度函數，Cmax為該代中最大的目標函數值，F(X)為待求個體的目標函數值。這樣就使得個體的適應度函數值之間的差異變大，從而使遺傳算法在選擇操作時變得容易，加速了算法的搜索效率。

3)由于遺傳算法選擇的隨機性，即使最優良的個體也可能在選擇運算中被淘汰，或最差的個體也可能被選中，因而在遺傳算法中采用保留最優模型的技術會大大改進算法的性能。一般保留當前代中前10個最優個體直接加入下一代群體中，這樣在遺傳過程中，就不會破壞最佳模式。

4)為了避免算法過早的收斂，在每次產生新一代群體的操作中，人為地向其中加入一定數量新的隨機生成的染色體，由于這些個體遍布在整個搜索空間中，這樣就增加了染色體中基因模式的種類，可以避免算法過早的收斂于局部最優解。

3 優化算例

以實際應用中典型鐵心電抗器為例，比較優化前后的主要技術指標和經濟性能，算例電抗器的主要技術參數如表1所示。

表1 技術參數

求解該問題的遺傳算法的構造過程:

1)確定決策變量和約束條件

選取鐵心直徑、鐵心磁通密度、線圈電流密度作為決策變量。約束條件有:損耗P0＜39．7 kW，溫升T＜100 K，扁導線寬厚比為ab∈［1.4，8］，電流密度 j∈［2，2.4］，鐵心磁密 B∈［1.2，1.6］，鐵心直徑D∈［420，460］。

2)建立優化模型

將已知量帶入式(2)整理成關于決策變量的函數關系式，并作為目標函數式

3)確定編碼方法

用長度為10位的二進制編碼串來分別表示三個決策變量。10位二進制編碼串可以表示從0到1 023之間的1 024個不同的數，故將三個決策變量的定義域離散化為1 023個均等的區域，例如D∈［420，460］，從離散點420到460依次讓它們分別對應于從0000000000(0)到1111111111(1023)之間的二進制編碼。再分別將表示三個決策變量的三個10位長的二進制編碼串連接在一起，組成一個30位長的二進制編碼串，即構成了該問題的染色體編碼方法。

4)確定解碼方法

解碼時需先將30位長的二進制編碼串切斷為三個10位長的二進制編碼串，然后分別將它們轉化為對應的十進制整數代碼，記為y1、y2和y3，此處將鐵心直徑、鐵心磁密、電流密度分別記為x1、x2和x3，則將yi轉換為變量xi的解碼公式分別為:

表2 優化結果

5)設定遺傳算子

選擇運算使用比例選擇算子;

交叉運算使用單點交叉算子;

變異算子使用基本位變異算子。

6)確定遺傳算法的運行參數

對于本例，設定遺傳算法的參數如下:

群體大小:M=100。

終止代數:T=500。

交叉概率:Pc=0．6。

變異概率:Pm=0．001。

上述步驟完成了對本例遺傳算法的構造，使用該方案進行優化設計后的結果如表2所示。

4 結論

1)針對傳統遺傳算法存在的早熟現象、收斂速度慢等缺點，提出了相應的改進措施，獲得了良好的改進效果。

2)建立了鐵心電抗器的優化設計模型，將遺傳算法這種尋優方法加入設計中，通過對典型樣例的優化可以看出，優化效果明顯。

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