彈性地基梁問題的無網(wǎng)格伽遼金分析

李曉雙，趙慧明，楊 敏

(中國礦業(yè)大學(xué)力學(xué)和建筑工程學(xué)院，江蘇徐州221008)

0 前言

工程中，通常在結(jié)構(gòu)底部設(shè)置基礎(chǔ)，若假設(shè)地基為彈性的，則此類結(jié)構(gòu)可簡化為彈性地基梁問題。對于彈性地基梁問題，目前廣泛使用的數(shù)值方法為有限單元法，且已取得了不少成果［1］。但有限元法是基于單元和網(wǎng)格的方法，會產(chǎn)生剪切自鎖和所求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)精度較低等問題。為了獲得較好的結(jié)果，需花費(fèi)大量時間在網(wǎng)格劃分等前處理工作上，對于大變形問題，在求解中會導(dǎo)致網(wǎng)格畸變，使計(jì)算無法進(jìn)行，此時需要重新劃分網(wǎng)格，工作量很大［2］。無網(wǎng)格方法為近年來出現(xiàn)的一種新的計(jì)算方法，它不依賴于單元和網(wǎng)格，可以有效克服有限單元法存在的問題，在金屬塑性成形、動態(tài)裂紋擴(kuò)展、流固耦合等涉及到大變形、網(wǎng)格畸變等問題時具有很大的優(yōu)勢，并且與有限單元法相比，無網(wǎng)格法往往具有較高的精度，因此在很多方面得到了應(yīng)用［3-5］。本文采用無網(wǎng)格伽遼金法(EFG)分析了Winkler彈性地基梁問題，并給出了具體算例。

1 彈性地基梁的基本方程

由Winkler地基模型可得到梁撓曲線方程

由微分方程理論，對于方程(1)，其齊次形式通解為［6］

采用初參數(shù)法求解，得到任意載荷下彈性地基梁的計(jì)算公式［7］

2 無網(wǎng)格伽遼金法

無網(wǎng)格伽遼金法(EFG)采用移動最小二乘方法構(gòu)造形函數(shù)。

定義在x處的MLS近似表達(dá)式為

式中，pj(x)為多項(xiàng)式基函數(shù);a(x)為待定系數(shù)，是坐標(biāo)的函數(shù)。構(gòu)造泛函，求解待定系數(shù)a(x)，得到

應(yīng)用最小勢能原理，得到彈性地基梁的能量泛函為

將式(10)代入泛函，并對泛函取駐值得到

Fc為集中力與集中力矩部分。

MLS近似不具備Kronecker δ函數(shù)性質(zhì)，不能直接施加本質(zhì)邊界條件，通常采用罰函數(shù)法或者Lagrange乘子法施加本質(zhì)邊界條件。Lagrange乘子法可以精確施加本質(zhì)邊界條件，但會增加未知數(shù)數(shù)目，大大降低求解離散方程的效率［8-10］。因此，本文采用罰函數(shù)法施加本質(zhì)邊界條件。

在式(11)中添加位移約束項(xiàng)

式中α為懲罰因子，實(shí)際應(yīng)用時常取足夠大的正數(shù)。

對式(17)進(jìn)行變分運(yùn)算，最終得到的離散系統(tǒng)方程為

增加的兩項(xiàng)為Kα和Fα。

Kα為總體懲罰剛度矩陣，其形式為

Fα為由本質(zhì)邊界條件引起的等效節(jié)點(diǎn)力，其形式為

對式(18)進(jìn)行求解，得到節(jié)點(diǎn)位移參數(shù)，利用式(8)可得到節(jié)點(diǎn)位移。

3 數(shù)值算例

圖1為彈性地基梁，長度L=10 m，寬度b=1 m，深度 h=0.3 m，E=20 N/m2，地基的彈性壓縮系數(shù)k=1.8×107N/m3，集中力P=400 kN，q=0.4 kN/m2。為便于編寫程序，在算例中對梁采用規(guī)則網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)布置，設(shè)置11個節(jié)點(diǎn)。

局部影響域的大小取值對結(jié)果影響較大，目前還沒有相關(guān)的選取準(zhǔn)則。本文采用文獻(xiàn)［11］給出的值，取節(jié)點(diǎn)間距的3.0倍左右。局部積分域的大小取節(jié)點(diǎn)間距的2.0倍左右。由于模型具有對稱性，在計(jì)算時可以只對前6個節(jié)點(diǎn)計(jì)算，結(jié)果見表1。

圖1 數(shù)值算例模型

表1 撓度計(jì)算結(jié)果 ω/mm

從表1中可以看出:使用無網(wǎng)格EFG方法得到的結(jié)果與使用初參數(shù)解法得到的解吻合的相當(dāng)好，最大誤差不超過2%。當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)增加時，誤差會進(jìn)一步減小。

4 結(jié)論

將無網(wǎng)格EFG應(yīng)用于彈性地基梁問題，利用最小勢能原理推導(dǎo)了離散系統(tǒng)方程，詳述了實(shí)施方法和計(jì)算步驟。其求解過程同有限元法相似，但無網(wǎng)格EFG擺脫了對單元和網(wǎng)格的依賴，收斂較快。算例表明:用無網(wǎng)格EFG分析彈性地基梁問題，簡便可行，精度較高。

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