基于線性規(guī)劃的公差綜合優(yōu)化設計方法

許本勝，王 燦，謝云峰

（桂林航天工業(yè)學院 機械工程系， 桂林 541004）

0 引言

公差綜合，也稱公差分配，是在保證裝配要求的條件下，確定與之相關各配合零件最優(yōu)的公差。在產品設計階段，公差的分配合理與否直接影響到產品的質量及后續(xù)過程的加工、使用壽命等。如果設計中規(guī)定的公差過小，會加大后續(xù)加工的難度及生產成本；反之，如果公差過大，則裝配精度降低，影響產品的裝配質量。因此，公差的分配成為工程實際中常見的優(yōu)化問題。

常規(guī)的公差綜合方法有等公差法、等精度法以及概率法等[1,2]。這些方法主要依靠設計人員根據已有經驗，同時參考相關設計手冊進行公差分配。由于對設計人員的主觀因素和經驗依賴程度高，公差的分配容易出現(xiàn)過緊或過松的情況，導致零件加工成本過高或加工完成的零件無法滿足裝配要求。隨著計算機技術的發(fā)展，出現(xiàn)了各種計算機輔助的公差綜合優(yōu)化方法。文獻[3]提出一種基于加工能力約束最低制造成本的公差優(yōu)化設計方法。文獻[4]以最低制造成本為目標，根據成本與公差間的函數關系，建立了非線性的公差優(yōu)化模型。文獻[5]、[6]以產品最小制造成本為優(yōu)化目標函數，分別使用遺傳算法及粒子群算法進行裝配公差的優(yōu)化分配。這些方法均建立在公差—成本模型基礎上，利用各種優(yōu)化算法進行優(yōu)化計算。由于加工環(huán)境的不斷變化，對大量加工工藝數據進行統(tǒng)計分析確定公差—成本模型的參數是十分困難的，因而實際工程中基于公差—成本的優(yōu)化模型應用非常有限。

針對常規(guī)公差綜合方法優(yōu)化不足，以及考慮到實際獲取公差—成本關系復雜性的局限，本文將線性規(guī)劃方法運用于公差綜合的優(yōu)化設計。線性規(guī)劃方法的一般形式如下：其中X={(x1, x2,!, xn)T| xi∈R,i=1, 2, !, n}為優(yōu)化變量，A、B、C、D為系數矩陣。

1 尺寸公差綜合的線性規(guī)劃模型

1.1 目標函數

不考慮設計公差與制造成本之間的關系，以所有公差之和最大為優(yōu)化目標函數，有：

其中ti為第i個尺寸公差；n為公差個數。實際設計中，不僅要給出公差ti的大小，還應給出相應尺寸的極限值，因而本文將上、下極限尺寸作為設計變量，兩者差值為設計公差。記公差ti對應基本尺寸為Li，上限、下限尺寸分別為LiU及LiL。式（1）可寫為：

1.2 約束條件

1.2.1 裝配要求約束

對于具體的裝配要求，以對應裝配尺寸為封閉環(huán)，從封閉環(huán)一端開始搜索，遍歷所有與之相關的零件尺寸直至封閉環(huán)的另一端，得到與裝配要求相關的裝配尺寸鏈。裝配尺寸鏈中零件尺寸為組成環(huán)，如果組成環(huán)尺寸增大或減小（其他組成環(huán)尺寸視為不變）則裝配尺寸減小或增大，稱兩者反向；反之稱兩者同向。記裝配尺寸鏈中有m個組成環(huán)尺寸，DU及DL分別為裝配要求對應的最大、最小裝配尺寸，得到組成環(huán)極限尺寸的裝配要求約束如下：

1.2.2 加工能力約束

設計的公差應能夠保證實際加工，為此，需要根據實際加工條件確定最小設計公差。加工能力約束可表示為：

其中tiM為允許最小公差。

1.2.3 初始公差范圍

對于尺寸公差較多的情況，式（3）!（5）有時不能夠完整約束所有尺寸，考慮設計方法的通用性和穩(wěn)健性，對各尺寸公差范圍進行初步確定，形成式（6）所示的不等式約束。

本文中初始公差范圍參考表1確定。

表1 不同尺寸段初始公差范圍

2 優(yōu)化實例

考慮一般情況，裝配體中需設計公差數目較多，且往往具有多個裝配要求。以圖1所示傳動軸軸向裝配圖為例。裝配零件主要包括傳動軸、左右端蓋、襯套、傳動齒輪及軸承，其中齒輪及軸承均為標準件，齒輪基本尺寸及偏差為25±0.015，軸承基本尺寸及偏差為7±0.01。其它零件為非標準件，基本及極限尺寸（單位為mm）如圖2所示。

圖1 傳動軸軸向裝配簡圖

圖2 零件軸向極限尺寸

2.1 目標函數

由式（2），確定目標函數如下：

2.2 約束條件

通過圖1及圖2獲得裝配要求對應的裝配尺寸鏈，進而確定裝配要求約束對應的尺寸鏈方程。以裝配尺寸為例，其裝配尺寸鏈如圖3所示。

圖3 裝配要求對應的尺寸鏈

綜合考慮各裝配要求，由裝配尺寸鏈可得到以下不等式約束：

各零件均采用車削加工，通常條件下能夠加工保證的最小公差為0.01mm，有：

由圖2中各零件軸向基本尺寸結合表1確定初始公差范圍如下：

綜合式（7）（10）得到圖1所示裝配體尺寸公差綜合的線性規(guī)劃模型，計算得到各設計尺寸對應的極限尺寸及公差優(yōu)化結果如表2所示。

3 結論

本文將線性規(guī)劃方法運用于工程實踐中常見的尺寸公差綜合優(yōu)化問題，以設計公差之和最大為優(yōu)化目標，以產品裝配要求、實際加工能力以及不同尺寸段的常見經濟合理加工范圍為約束條件，研究了尺寸公差綜合的優(yōu)化分配方案。通過實例分析顯示了在給定裝配功能要求的前提下，線性規(guī)劃方法能有效生成優(yōu)化的公差大小以及對應尺寸的極限值，是一種簡單實用的公差綜合設計方法。

表2 極限尺寸及公差優(yōu)化計算結果（單位：mm）

[1]吳昭同, 楊將新.計算機輔助公差優(yōu)化設計[M], 杭州: 浙江大學出版社, 1999.

[2]盧軍, 趙麗萍.基于知識的公差設計[J].計算機集成制造系統(tǒng)-CIMS,2001, 7(11): 50-53.

[3]黃美發(fā), 高詠生.基于最低制造成本的一種公差優(yōu)化設計法[J].華中科技大學學報(自然科學版), 2002, 30(4):19-21.

[4]李淑娟, 李言, 肖繼明.基于DFA和DFC的綜合公差優(yōu)化[J].機械科學與技術.2005, 24(2): 143-145.

[5]王伯平, 景大英.基于遺傳算法的配合尺寸公差優(yōu)化設計[J].農業(yè)機械學報.2004,35(4):198-200.

[6]匡兵, 黃美發(fā), 鐘艷如等.基于粒子群算法的裝配公差優(yōu)化分配[J].機械設計與制造, 2009, 2: 35-37.