基于NURBS最小二乘逼近的微段平滑加工算法*

沈 斌 齊黨進 樊留群② 朱志浩②

（①同濟大學中德學院，上海200092;②同濟大學沈陽機床研究院，上海 201804）

微小直線段離散化曲線加工路徑的微段加工方式仍被廣泛地應用。而在該加工方式下，通常是借助CAM軟件，由后置處理將連續加工路徑離散化為大量的微小直線段，生成數控程序文件并輸入到數控機床，然后數控系統根據由微小直線段組成的折線進行插補和加工。微段加工方式下加工程序量過大和需要頻繁加減速來滿足加工精度要求的不足飽受詬病。為了實現微小直線段的高速平滑加工，提高加工效率，國內外學者作了大量的研究工作，其中，部分研究成果已經被應用到國外的高檔數控系統中，例如:西門子Sinumerik 840D中的壓縮功能（COMPOF/ON，COMPCURV，COMPCAD），Fanuc的 FS 30i/31i/32i中的納米平滑（Nano Smooting）功能。

按優化的方式不同，研究可以大致分為兩個方向:微段拐點處的速度平滑和基于微段擬合的自由曲線直接插補。其中，前者的研究較早也較多。徐志明等［1］，以前瞻得到的夾角和微段長度為計算前提，用遞歸算法求解微段轉接點處的最大允許進給速度;王宇晗等［2］提出了微小線段速度銜接的數學模型并基于此求得進給速度限制的近似最優解，然后以直線加減速方法進行速度規劃，許海峰等［3］進一步對該數學模型進行了離散化并加以完善，給出了離散化下的速度限制值計算方法，并以削峰填谷的方法處理新路徑與原始路徑之間的長度差異;彭芳瑜等［4］進一步考慮了機床的動力學約束;黃昕等［5］提出了一種以最大進給速度為目標，通過雙向掃描算法，獲得拐點處的最優進給速度的算法，并以S形加減速控制方法進行速度規劃，實現了微段平滑加工;葉偉［6］和李小清［7］也根據各自的微小段加工速度、加速度銜接模型，并以S形加減速方法進行了速度規劃;冷洪濱等［8］除了對合成速度進行限制外，進一步對單軸的運動速度進行限制，并以三次多項式加減速方法進行了速度規劃。與上面的方式不同，楊開明等［9］為代表，通過在相鄰程序段間加入過渡段，以犧牲局部精度的前提下避免微段拐點處減速而實現速度的平滑。

雖然以上微段優化方式可以提高加工效率和加工精度，但是，伴隨著加工速度的進一步提高，為了滿足加工精度的要求，微小直線段變得越來越短，上述優化方式必然造成計算量過大，致使加工等待等問題。為此，擬合的自由曲線直接插補優化方式相應提出。該優化方式是將微小直線段用多項式曲線、三次樣條和B樣條等進行擬合，然后進行直接插補。其中，Erkorkmaz［10］和 Yau 等［11］以弦長為參數，分別采用五次樣條曲線和Bézier曲線來擬合微小直線段從而生成新的光滑加工路徑來解決微段加工出現的問題;任錕等［12］對離散加工路徑采用三次樣條曲線擬合，然后分析三次樣條發現高曲率點，預估高曲率點處的最優速度，并通過S形加減速控制實現微段優化加工;張園等［13］以弦長為參數，采用五次樣條曲線擬合微小直線段生成新的光滑加工路徑，并附加考慮了弓高誤差的限定對整個樣條擬合曲線進行速度規劃，實現了進給速度的自適應控制。

因此，針對微段加工中出現的不足，本文提出了基于NURBS最小二乘逼近的微段平滑加工算法來實現微小直線段的平滑加工，即將離散的刀位點數據擬合成一條NURBS曲線作為新的加工路徑，然后可以按照新的加工路徑進行NURBS實時插補，實現微小直線段的平滑加工。

1 基本思想和算法流程

基于NURBS最小二乘逼近的微段平滑加工算法的基本思想是，對從微段加工程序解析得到的刀位點進行自適應分區擬合。如流程圖（圖1）所示，首先進行一定段數的預讀，然后根據給定的限制條件將微段自適應分為各個區域，最后對符合擬合條件的區域逐區進行帶權因子和一階導數約束的最小二乘NURBS曲線逼近，并進行NURBS曲線實時插補，而對其他部分劃分為直線段區域，使用直線插補方式。

2 自適應分區

通過對微小直線段一定段數的預讀可以得到以下兩個基本信息:相鄰微段間的夾角θi和微段的長度Li（i=0，1，2，…）;又考慮到擬合的時間與被擬合的點數相關，因此，自適應分區受3類條件限制:擬合最大刀位點數限制，微段間夾角有關限制和微段長度有關限制。根據限制條件，將微小直線段自適應劃分為不同的區域，并定義限制條件臨界處的刀位點為斷點，作為上一區域的終點和下一區域的起點。

2.1 最大刀位點數限制nlim

鑒于微段一般短且多的特色，最大刀位點數限制作為自適應分區的首要限制條件。nlim的大小與數控系統控制器的運算能力和對實時性的要求（插補周期T）有關系。當兩個斷點間的累加數據點數n≥nlim時，當前刀位點Pi作為斷點，斷點前的n+1個刀位點劃為一個適合擬合區域。

2.2 微段夾角有關限制

θlim為最大夾角限制，可以根據給定進給速度F、最大加速度Amax和插補周期T估算得到，即

當 θi＞θlim時，Pi為一尖點，則將Pi－2到Pi+2的四個微小直線段劃分為直線段區，Pi－2為斷點，Pi+2為下一區域的起點;

2.3 微段長度有關限制

微段長度作為自適應分區的輔助限制。當微段長度很短，特別是接近1～2個插補長度時，對其進行擬合運算并不能使加工平滑，只會增加擬合計算的時間，影響實時性;與此類似，當微段長度很長時，在增加擬合時間的同時，擬合運算反而會使該直線段加工精度變差。在多類型曲線的擬合仿真中，反復驗證了以上結論。因此，微段長度限制分別對最短微段長度Lmin和最長微段長度Lmax進行限制。當Lmin≤Li≤Lmax時，該刀位點被劃入當前適合擬合區域，并讀入下一個刀位點，否則微段PiPi+1劃為直線段區域，Pi作為斷點（適合區域的終點），Pi+1作為新的區域的起點。默認取Lmin=FT;Lmax=100FT。

3 帶權因子和一階導數約束的NURBS曲線最小二乘逼近算法

帶權因子和一階導數約束的NURBS曲線最小二乘逼近算法的基礎是最小二次逼近法?？紤]到適合擬合區域的局部數據點擬合誤差較大（擬合誤差大于給定最大誤差值）和進給速度方向的限制，本文提出的算法在NURBS曲線最小二乘逼近算法的基礎上，對擬合誤差較大的點增加了權因子約束，對進給速度方向限制（法向矢量給出）的點增加一階導數約束，使擬合得到曲線更接近原始加工路徑。

3.1 算法流程

如圖2所示，帶約束NURBS最小二乘逼近基本流程為:首先按照修正弦長法對讀入的數據點進行參數化，然后根據各點的權因子和一階導數約束進行最小二乘擬合，得到最大逼近誤差范圍內的控制點，生成新的NURBS曲線加工路徑。

假設適合擬合的r+1個數據點為qi（i=0，1，…，r），qi受權因子hi（hi≥1）或一階導數fi（進給速度方向）的約束，擬合得到的 NURBS曲線為C（u）（u∈［ui，ui+1］?［u3，un+1］）［14］。

3.2 數據點的參數化［14］

在采用NURBS曲線對適合擬合區域進行逼近以前，必須對數據點進行參數化，即為每一個數據點賦予一個參數值。常用的參數化方法包括均勻參數化、弦長參數化、向心參數化和修正弦長參數化等。為了滿足擬合曲線的光順性要求，本算法采用修正弦長參數法。假設適合擬合區域包含r+1個刀位點數據，記為點集{qi}（i=0，1，2，…，r），對應的參數為{ui}，按照修正弦長參數法可得各數據點的參數:

式中:ki為修正弦長系數

修正系數ki≥1，用于修正弦長偏短且前后相鄰夾角偏大的數據點，使擬合后的曲線在該點處的曲率相應較大，且向心加速度可以平穩變換。ki的大小取決于與數據點前后的弦長和夾角的關系。

簡言之，若|Δqi－1|相比前后相鄰的弦長 |Δqi－2|和|Δqi|越小，且前后相鄰弦線夾角的外角 ?i－1和 ?i（不超過π/2時）越大，ki也越大，對應于曲線段絕對曲率偏大。當?i－1=?i=π/2時，修正系數ki將達到最大值。

3.3 獲取權因子hi

默認權因子hi=1（可以通過手工編程指定，則hi=編程值），當數據點qi最小二乘數逼近誤差εi超出給定最大逼近誤差εmax時，增大該點處的權因子（hi=chhi，ch為權因子修正系數，默認ch=5），然后重新迭代計算，直到滿足 εi≤εmax。

3.4 獲取一階導數fi

首末端點的一階導數f0和fr可以根據給定的首末端點邊界條件計算得到，例如:q0處的邊界條件為切矢條件時，f0為上一段加工程序在q0處的切矢。中間點的一階導數按照下列規則得到:若未給定，則該數據點為非約束點;若手工編程指定，則fi為編程值;若已給定法向矢量，則fi通過法向矢量近似計算，近似計算方法如下:

假設法向矢量為ni，qiqi+1為點qi到qi+1的矢量，fi可近似計算得

其中，α為qiqi+1與ni的夾角，

并進一步令

D=［d0，d1，…，dm］T，一個包含m+1 個控制點（d1=（xi，yi，zi），l=0，1，…，m）的矩陣;

一個包含約束點p次基函數和對應p次的（r+1）×（m+1）維矩陣;

一個包含非約束點p次基函數和對應p次（l=0，1，…，m）的（r+1）×（m+1）維矩陣;

與p次基函數的求法一致，如圖3，式（2）也可以根據de Boor－Cox遞推算法求得。

3.5 算法描述

帶約束的NURBS曲線最小二乘逼近算法的基本思想是拉格朗日乘數法，即引入2（s+1）個拉格朗日乘數因子，解一個系數矩陣為（2s+m+3）維方陣的線性方程組。

設拉格朗日乘數因子為λk（k=0，1，…，2s+m+3），令A=［λ0，λ1，…，λ2s+m+3］，可得

非約束點滿足方程

約束點滿足方程

根據拉格朗日乘數法，應使式（6）達到最小。

分別對A和D求導，并令其等于0，可得

對式（7）進行變形，可得

令A/2仍為A，并表示為矩陣形式，可得

根據式（9），可解得

代入式（9）第二式，進一步可推得

解得

通過式（12）可以接到拉格朗日乘數因子矩陣A，代入式（11），即可解得所需的控制點D，得到所需的p次NURBS曲線。

4 仿真與實驗

為了驗證算法的正確性和有效性，對原始圖形為三瓣花的微段加工路徑進行仿真與測試。其中，相關限制參數為:最大數據點數nlim=30;微段長度（Lmin，Lmax）為（0.02，20）;最大夾角 θlim=π/9;最大夾角差Δθlim=π/18;最大夾角累加值=π/2;給定最大逼近誤差εmax=0.002 mm。通過利用Matlab進行仿真驗證，可得微段加工路徑NURBS曲線最小二乘逼近的仿真結果（圖4）。分析圖4b可知，三瓣花逼近的實際最大誤差為3.24×10－3mm，均小于給定的最大逼近誤差值。

5 結語

為了消除微小直線段加工方式下加工程序量過大和需要頻繁加減速的詬病，實現微小直線段的高速平滑加工，提高加工效率，本文提出了帶權因子和一階導數約束的NURBS曲線最小二乘逼近算法，將離散的數據點擬合成一條NURBS曲線，給出了算法的應用流程，經過初步驗證，可以實現微小直線段的平滑加工。

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