非標(biāo)準(zhǔn)安裝下直齒輪嚙合效率的計(jì)算及參數(shù)的確定*

王成范增

（濟(jì)南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東濟(jì)南 250022）

提高機(jī)械產(chǎn)品的傳動(dòng)效率一直是人們關(guān)注的焦點(diǎn)［1］。齒輪傳動(dòng)作為應(yīng)用最為廣泛的一種傳動(dòng)方式，其傳動(dòng)效率的高低直接影響到環(huán)境污染和經(jīng)濟(jì)效益［2］。

確定齒輪傳動(dòng)效率的方法有查表、試驗(yàn)和計(jì)算3種。其中，試驗(yàn)法最為準(zhǔn)確［3－5］，但缺點(diǎn)是檢測(cè)的結(jié)果并不通用，且受很多因素的干擾。而查表法僅是給出一個(gè)范圍，并不精確。因此，采用計(jì)算的方法更為可行［6］。筆者［7］曾提出了利用齒輪輪齒幾何接觸分析（TCA）和輪齒承載接觸分析（LTCA）來(lái)計(jì)算齒輪的滑動(dòng)摩擦功率損失。Xu H［2］提出了平行軸齒輪傳動(dòng)效率計(jì)算的模型。前述兩種方法雖然能準(zhǔn)確計(jì)算得到齒輪嚙合功率損失，但所建模型均未直接建立功率損失與齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系。姚建初［6］通過(guò)計(jì)算任意嚙合點(diǎn)處的瞬時(shí)嚙合功率，利用連續(xù)函數(shù)積分中值定理，推導(dǎo)出了平均嚙合效率的計(jì)算公式。筆者［8］在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了直齒輪基本參數(shù)與嚙合效率的關(guān)系。但上述兩種方法在計(jì)算過(guò)程中均未考慮非標(biāo)準(zhǔn)安裝情況。因此，所得出的結(jié)論存在局限性。

在齒輪實(shí)際安裝過(guò)程中，存在非標(biāo)準(zhǔn)安裝的情況。因此，本文在全面考慮直齒輪標(biāo)準(zhǔn)安裝和非標(biāo)準(zhǔn)安裝的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出嚙合效率的計(jì)算公式，進(jìn)而得到設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)嚙合效率的影響關(guān)系，為直齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)的確定提供了理論指導(dǎo)。直齒輪嚙合效率的計(jì)算及設(shè)計(jì)參數(shù)確定的流程見(jiàn)圖1。

1 任意嚙合點(diǎn)處的嚙合效率

設(shè)圖2和圖3中漸開(kāi)線齒廓1和2在任意點(diǎn)k接觸，n－n為漸開(kāi)線齒廓的嚙合線，設(shè)輪1為主動(dòng)輪。v1、v2分別為輪廓1和2在k點(diǎn)處的速度，α1、α2為v1、v2與嚙合線的夾角（即齒廓壓力角）。F12為輪1作用于輪2的合力，F(xiàn)21為輪2作用于輪1的反力，它們大小相等，方向相反，且與嚙合線的夾角為φ（摩擦角）。

當(dāng)接觸點(diǎn)k位于節(jié)點(diǎn)P的右端（即PB2段）時(shí)，α1＜α2。此時(shí)，k點(diǎn)處的驅(qū)動(dòng)功率為

工作阻力功率為

式中:γi=αi+φ（i=1，2）。

根據(jù)平面嚙合的基本定理［8］

則k點(diǎn)處的嚙合效率為

當(dāng)嚙合點(diǎn)k在節(jié)點(diǎn)P的左端（即PB1段）時(shí)，α1＞α2，通過(guò)計(jì)算得［8］

式中:f為摩擦因數(shù)。

2 設(shè)計(jì)參數(shù)與嚙合效率關(guān)系式的推導(dǎo)

根據(jù)文獻(xiàn)［8］，利用連續(xù)函數(shù)積分中值定理，用齒輪傳動(dòng)的平均嚙合效率來(lái)代替齒輪傳動(dòng)的嚙合效率。首先利用式（4）和（5），求出任意嚙合點(diǎn)處的嚙合效率（即瞬時(shí)嚙合效率）。然后通過(guò)分段積分求出實(shí)際嚙合線上總的嚙合效率。最后，用總的嚙合效率除以實(shí)際嚙合線長(zhǎng)度得到平均嚙合效率。

在圖3中，齒輪實(shí)際嚙合線為B1B2，P為嚙合節(jié)點(diǎn)，通過(guò)上面的計(jì)算可知，PB1段和PB2段瞬時(shí)嚙合效率的計(jì)算公式不同，因此，分別對(duì)PB1段和PB2段進(jìn)行積分。由圖3及文獻(xiàn)［9］可知:

式中:rb1、rb2分別為齒輪1、2的基圓半徑;α'為嚙合角。

將坐標(biāo)原點(diǎn)取在節(jié)點(diǎn)P處，方向如圖3所示。

2.1 計(jì)算PB1段的嚙合效率

該嚙合段速度與嚙合線夾角α1＞α2，因此，嚙合效率的計(jì)算公式為式（5）。由圖3，PB1段速度同嚙合線夾角α與嚙合點(diǎn)位置x的關(guān)系可表示為

將式（8）和（9）代入式（5），得

在PB1段上對(duì)η1（x）進(jìn)行積分，即

根據(jù)文獻(xiàn)［9］:

式中:m為齒輪模數(shù);z1為齒輪齒數(shù);i12為傳動(dòng)比為齒頂高系數(shù)。

將以上關(guān)系式代入式（11）并整理得:

2.2 計(jì)算PB2段的嚙合效率

該嚙合段速度與嚙合線夾角α1＜α2，因此，嚙合效率的計(jì)算公式為式（4）。由圖3，PB2段速度同嚙合線夾角α與嚙合點(diǎn)坐標(biāo)x的關(guān)系可表示為在PB1段上的嚙合效率為:

2.3 計(jì)算直齒輪的嚙合效率

根據(jù)文獻(xiàn)［9］，B1B2段的長(zhǎng)度為

這里，我們用平均嚙合效率來(lái)代替齒輪傳動(dòng)的嚙合效率，因此直齒輪傳動(dòng)的嚙合效率為

3 直齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)與嚙合效率之間的關(guān)系

上面我們推導(dǎo)出了齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)與嚙合效率之間的關(guān)系式，從中可以看出，式中不包含頂隙系數(shù)c*和齒寬B。同時(shí)，式中我們用i12z1代替z2。下面分別討論齒數(shù)z1、模數(shù)m、傳動(dòng)比i12、壓力角 α、齒頂高系數(shù)和中心距安裝誤差Δa對(duì)嚙合效率η的影響。取f=0.05，z1=20，i12=2，α=20°，=1，m=2 mm 和 Δa=1 mm。針對(duì)相關(guān)參數(shù)再具體設(shè)定其變化區(qū)間，基于Matlab編程繪出相應(yīng)的關(guān)系曲線圖。

3.1 齒數(shù)z1對(duì)嚙合效率η的影響

取z1=20～100，其他參數(shù)不變。根據(jù)上述公式，利用Matlab編程繪出的齒數(shù)z1與嚙合效率η關(guān)系如圖4所示。從圖4中可以看出，η隨著z1的增加而增大。但當(dāng)z1超過(guò)一定數(shù)值后，效率增加趨向平緩。同時(shí)，根據(jù)齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)參數(shù)選擇理論，增加齒數(shù)，有利于提高重合度，改善傳動(dòng)的平穩(wěn)性，但在齒輪尺寸一定的情況下，增加齒數(shù)將引起模數(shù)的減小，從而降低齒輪的彎曲強(qiáng)度。

3.2 模數(shù)m對(duì)嚙合效率η的影響

取m=2～8 mm，其他參數(shù)不變。根據(jù)上述公式，利用Matlab編程繪出的模數(shù)m與嚙合效率η關(guān)系如圖5所示。在圖5中，η隨著m的增大而減小。當(dāng)m超過(guò)一定數(shù)值后，效率的減小趨向平緩。同時(shí)，根據(jù)齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)參數(shù)選擇理論，在強(qiáng)度和結(jié)構(gòu)允許的條件下，應(yīng)選取較小的模數(shù)。

3.3 傳動(dòng)比i12對(duì)嚙合效率η的影響

取i12=1～10，其他參數(shù)不變。根據(jù)上述公式，利用Matlab編程繪出的傳動(dòng)比i12與嚙合效率η關(guān)系如圖6所示。在圖6中，隨著i12的增大，η也隨之增加。當(dāng)i12超過(guò)一定數(shù)值后，效率增加趨向平緩。

3.4 壓力角α對(duì)嚙合效率η的影響

取α=10°～30°，其他參數(shù)不變。根據(jù)上述公式，利用Matlab編程繪出的壓力角α與嚙合效率η關(guān)系如圖7所示。從圖7中可看出，η隨著α的增大而增大。當(dāng)α超過(guò)一定數(shù)值后，效率增大趨向平緩。同時(shí)，根據(jù)齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)參數(shù)選擇理論，增大壓力角，有利于提高齒輪傳動(dòng)的彎曲強(qiáng)度及接觸強(qiáng)度，減小不發(fā)生根切的最少齒數(shù)。但這也導(dǎo)致重合度降低，傳動(dòng)平穩(wěn)性差，噪聲增大，徑向力增大。

3.5 齒頂高系數(shù)ha*對(duì)嚙合效率η的影響

取=0.8～1.2，其他參數(shù)不變。根據(jù)上述公式，利用Matlab編程繪出的齒頂高系數(shù)與嚙合效率η關(guān)系如圖8所示。在圖8中，隨著的增大，η隨之減小。同時(shí)，根據(jù)齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)參數(shù)選擇理論，減小，可減少不發(fā)生根切的最少齒數(shù)，但減小將使重合度降低，傳動(dòng)平穩(wěn)性差，噪聲增大。

3.6 安裝誤差Δa對(duì)嚙合效率的影響

取中心距安裝誤差Δa=0～2 mm，其他參數(shù)不變。根據(jù)上述公式，利用Matlab編程繪出的安裝誤差Δa與嚙合效率η關(guān)系如圖9所示。在圖9中，隨著Δa的增大，η隨之增大。同時(shí)，根據(jù)齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)參數(shù)選擇理論，中心距安裝誤差過(guò)大，齒輪將不能正常嚙合。

4 算例

設(shè)計(jì)某螺旋輸送機(jī)傳動(dòng)裝置中的直齒輪。其工作機(jī)的功率為2.1 kW，轉(zhuǎn)速為105 r/min。通過(guò)傳動(dòng)比分配，i12=4.5。分別按齒根彎曲和齒面接觸強(qiáng)度計(jì)算得到模數(shù)，經(jīng)比較取m≥2.41 mm。根據(jù)GB1357－87，標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)可以取為m=2.5 mm或m=3 mm。在齒輪尺寸一定的情況下，模數(shù)與齒數(shù)成反比，即①m=2.5 mm時(shí)，z1=22;②m=3 mm時(shí)，z1=18。從上文結(jié)論中可以得到，選取小的模數(shù)/較多的齒數(shù)，有利于提高嚙合效率。分別計(jì)算兩種方案對(duì)應(yīng)的效率（表1，取f=0.05）。從表1中可以看出，方案①的嚙合效率要高于方案②，即與所得結(jié)論相符。

表1 滿足強(qiáng)度情況下不同方案對(duì)應(yīng)的嚙合效率

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)直齒輪標(biāo)準(zhǔn)安裝和非標(biāo)準(zhǔn)安裝的情況，推導(dǎo)出了齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)與嚙合效率之間的關(guān)系式，通過(guò)MATLAB編程繪制出了相應(yīng)的關(guān)系曲線圖，結(jié)合齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)參數(shù)的選擇理論得出以下結(jié)論:

（1）當(dāng)承載能力主要取決于齒面接觸強(qiáng)度時(shí)，選取較多的齒數(shù)有利于嚙合效率的提高。

（2）在強(qiáng)度和結(jié)構(gòu)允許的條件下，適當(dāng)減小模數(shù)，有利于嚙合效率的提高。

（3）傳動(dòng)比增大，嚙合效率隨之增大，但當(dāng)達(dá)到一定程度后，趨向平緩。因此，對(duì)于多級(jí)齒輪傳動(dòng)，在總的傳動(dòng)比一定的情況下，合理分配傳動(dòng)比有利于提高整個(gè)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的效率。

（4）壓力角與嚙合效率同方向變化，在保證傳動(dòng)平穩(wěn)的前提下，適當(dāng)增加壓力角有利于嚙合效率的提高。

（5）適當(dāng)減小齒頂高系數(shù)有利于提高嚙合效率。

（6）合理增加中心距，有利于嚙合效率的提高。

因此，在滿足強(qiáng)度、壽命和正確傳動(dòng)的前提下，應(yīng)適當(dāng)增加齒數(shù)、傳動(dòng)比、壓力角和中心距，適當(dāng)減小模數(shù)和齒頂高系數(shù)。同時(shí)采用合理的潤(rùn)滑，減小摩擦因數(shù)。

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