新型直驅四軸混聯數控機床運動學分析*

陳 靜

（博世汽車柴油系統股份有限公司技術研發中心，江蘇無錫 214000）

作為新型數控加工裝備，并聯機床相對于傳統數控機床具有剛度高、承載能力強、動態性能好等諸多優點，因而具有十分廣闊的應用前景。然而，隨著研究的不斷深入，研究人員發現多自由度并聯機床存在諸多缺陷，如工作空間小、奇異位形、運動耦合、加工精度低等，限制了并聯機床的進一步實用化。因此，出現了基于少自由度并聯機構的混聯機床。混聯機床屬于并聯機床概念范疇，在結構上擴大了工作空間，同時降低了機床設計和控制的難度。可以說，混聯機床更具有靈活性和實用性，從而為并聯機床的應用拓展了發展空間［1－2］。直線電動機驅動伺服系統是當前國際上公認的最具前途的高速、高精度數控機床快速進給系統，采用直線電動機和智能化數字式伺服控制的高速加工中心已成為當前主要機床制造商競相研究和開發的關鍵技術和產品［3－4］。直線驅動技術的應用將原始的回轉運動轉變為直接的直線運動，因此機床的速度、加速度、負載剛性、精度以及動態性能徹底得到改觀。

博世汽車柴油系統股份有限公司致力于先進的柴油發動機高壓共軌系統和尾氣后處理系統相關產品的研發。為滿足產品開發過程中，專用、復雜零部件的高精密、高效率的數控加工需求，基于模塊化設計技術，研制開發出完全由直線電動機驅動的新型四軸混聯數控機床。以該機床并聯主軸模塊為研究對象，建立了其運動學方程，研究了主軸機構位置正逆解和工作空間分布，并對其運動性能進行了仿真分析，為機床主軸的運動性能優化和運動控制提供了理論依據。

1 新型機床結構描述

基于模塊化設計技術，研制開發了一種完全由直線電動機驅動的新型四軸混聯數控機床，物理樣機如圖1所示。該機床采用混聯式單立柱結構，主要由2－DOF并聯主軸頭和XY工作臺兩大功能模塊組成;除此之外，還包括配重機構、立柱和底座3大部分。并聯主軸頭為非對稱式P3RP構型，由單邊直線電動機雙動子驅動結構實現“Z軸平動+A軸轉動”兩自由度運動;XY工作臺為“十”字形串聯結構，由雙直線電動機驅動實現“X軸 +Y軸”的XY平面運動。

在2－DOF非對稱式P3RP并聯主軸機構中，P定義為Z軸方向與滾動直線導軌滑塊及直線電動機動子聯接的兩個滑座（文中定義下滑座運動軸為U軸，上滑座運動軸為V軸），定長桿通過旋轉副R分別與擺動平臺和V軸滑座相連，擺動平臺則通過旋轉副R與U軸滑座相連，從而構成P3RP型非對稱式并聯機構。當單邊直線電動機的雙動子在豎直導軌上以不同速度運動時，上下滑座驅動擺動平臺和定長桿，使得擺動平臺作“Z軸平動+A軸轉動”兩自由度運動，設計工作空間為［z，θ］= ［0～320 mm，0 ～1.57 rad］，即主軸頭可實現立臥轉換功能。

2 運動學分析

2．1 運動學方程的建立

在圖2中，以主軸軸線與XY工作臺面交點位置為原點建立固定坐標系{S}:O－YZ，其Y軸為水平方向，Z軸為豎直導軌方向;以擺動平臺的轉動點t（與A點重合）看作機構運動的輸出點建立動坐標系{M}:t－yz，y軸為水平方向，z軸為TA方向。圖中，擺動平臺在O－YZ平面內作Z軸平動和繞X軸轉動兩自由度運動，l1為鉸鏈點A和B回轉中心的距離;l2為鉸鏈點B和C回轉中心的距離;Q點為機構的運動奇異點，由分析可知在其運動空間之外，故在文中不作詳細討論。假定擺動平臺在機床坐標系O－YZ中的位姿為（z，θ），θ為擺動平臺的偏轉角（逆時針方向為正）。由幾何關系可得:

式中:δ為l1與lAT的固定夾角;a為A點到擺動平臺下端面m的垂直距離;b為B點到平面m的垂直距離;h為B點到擺動平臺右端面n的垂直距離;r為擺動平臺軸線到平面n的徑向距離。

由圖2可得機床主軸機構的位置矢量關系，如圖3所示。由圖可知，動坐標系t－yz在固定坐標系OYZ中的位置向量為（z，θ）;OA矢量在O－YZ中的位置為（0，z1），OC矢量在O－YZ中的位置為（e，z2）;l1在O－YZ中的矢量為AB，l2在O－YZ中的矢量為BC;ψ為矢量AB與Z軸逆時針方向夾角，φ為過C點作Z軸平行線，按逆時針方向轉至與BC矢量相重合時所掃過的夾角，0≤φ＜π/2;Z0（0，s0）為下滑座（或是t點）的初始位置點，Z1（0，s1）為下滑座（或是t點）行程的最大位置點，Z2（0，s2）為上滑座行程的最大位置點。

由圖3可知，封閉矢量方程如下式所示:

在固定坐標系O－YZ中，列式（1）的投影方程，得運動學方程如下:

式中:ψ=θ+δ。

綜合圖3中的幾何關系，則機構的運動約束方程為:

2．2 位置逆解

機構的位置逆解是給定末端動平臺的位姿求輸入件的運動參數，這里是給定擺動平臺的位姿（z，θ），根據機構的運動約束方程求得兩個滑座的位置（z1，z2）。

給定（z，θ）后，由運動學方程（4）～（6）和約束條件（7）～（9）可得位置逆解為:

2．3 位置正解

機構的位置正解是給定輸入件的位置求末端動平臺的位姿，這里是給定兩個滑座的位置（z1，z2），根據機構的運動約束方程求得擺動平臺的位姿（z，θ）。

就圖書館資源來說，高等學校可以依據共享的資源數量和質量來要求共享者提供相應的建設成本和運營成本；又比如實驗室以及設備，也可以根據共享的理念，擁有豐富資源的高校可以給資源少的高校提供資源，只需要提供相應的成本補償即可以確保利益不受損。最后，就個人而言，教師如果有資歷可以參與外聘工作，同時可以得到受聘用高校給付的勞動報酬。應建立和完善有償機制，從而對有償支付使用進行統一的規定，防止亂收費現象的發生。收費主要是依據用于資源自身的維護、維修的需要，資源管理者的勞務費或者是購置新的資源等方面制定的，并且應避免以盈利為目的，在此之后還應該將收費的標準上報學校和相關部門備案，同時應接受公開監督和檢查。

給定（z1，z2）后，由運動學方程（4）～（6）和約束條件（7）～（9）可得位置正解為:

若θ≤－π/2，則用 π+θ進行修正;若－π/2＜θ＜0，則舍棄。

3 運動空間與性能分析

3．1 運動空間

由設計目標經優化設計，可確定該機床并聯主軸機構結構參數及機床U/V軸滑座極限位置，如表1、表2所示。

表1 并聯主軸機構結構參數

表2 U/V軸滑座極限位置

由表1、表2中的參數值和式（10），即可求得機床并聯主軸機構的位置逆解，由此可得機構的逆運動空間，如圖4所示。

由圖4可知，當偏轉角θ=0時，滑座D的運動范圍為［200，518.5］，滑座 E 的運動范圍為［506.5，825］;當偏轉角θ=1.57 rad時，滑座D的運動范圍為［200，365］，滑座 E 的運動范圍為［600，825］。由于受到桿長約束和行程限制，滑座D的運動空間端部近似呈鍥型狀圓弧，滑座E的運動空間近似呈梯形狀圓弧面。

由表1、表2中的結構參數和式（11），即可求得機床并聯主軸機構的位置正解，由此可得機構的正運動空間，如圖5所示。

由圖5可知，機構輸出點t在設計的位置空間［200，520］和姿態空間［0，1.57］時，與對應的兩滑座z1和z2的位置關系。機構的工作空間由位置工作空間和姿態工作空間組成。綜合圖5a和5b，由此可得到該P3RP機構輸出點t的工作空間，即并聯主軸頭的工作空間分布。

3．2 運動性能

根據該機床并聯主軸頭的設計性能指標:zmax=320 mm，zmax=1g;θmax=1．57 rad，θmax=30 rad/s2。由式（12）和（13）可得工作空間內的運動性能圖譜，如圖6所示。

4 運動仿真研究

4．1 雅克比矩陣

雅克比矩陣［J］在并聯機構運動學中是一個十分重要的參數，它表示機構輸入與輸出的微分關系。利用雅克比矩陣，可以方便地進行機構速度分析、加速度分析、靜力學分析和靈巧度分析等［5］。

雅克比矩陣定義為

式中:q=［z，θ］T，p=［z1，z2］T;Jt是以t為輸出點時并聯主軸機構的雅克比矩陣。

對式（7）求導，由此可得并聯主軸機構在t點處的雅克比矩陣為:

4．2 仿真算例

為了驗證擺動平臺的實際運動效果，這里給定了一組擺動平臺的運動參數，對該并聯主軸機構進行了運動仿真。仿真過程中，取表2中的結構參數，假定擺動平臺的T形速度規劃為

在初始時刻t=0時，擺動平臺的位姿由（z，θ）=（200 mm，0），經過加速0.1 s、勻速0.8 s和減速0.1 s的運動過程，在停止時刻t=1 s時，擺動平臺的位姿為（z，θ）=（335 mm，0.9 rad）。在整個運動過程中，利用上述推導的機構運動公式仿真得到擺動平臺的位姿曲線、U軸滑座D和V軸滑座E的運動規律，如圖7所示。

由圖7可知，滑座D運動較為平穩，滑座E運動速度、加速度變化較大，最大速度達0.26 m/s，最大加速度達2.6 m/s2。同時，擺動平臺與滑座之間的運動關系是嚴格非線性的，因此該并聯主軸機構的高性能運動控制則較為復雜。

5 結語

本文基于模塊化設計技術，研制開發了一種完全由直線電動機驅動的新型四軸混聯數控機床。通過對機床并聯主軸模塊的運動學分析，得到了機床主軸的正逆運動空間分布，為其運動性能的優化提供了理論依據。基于運動仿真研究，得到了主軸擺動平臺與滑座的運動規律，為該機床并聯主軸模塊的較優運動控制奠定了基礎。

［1］張曙，Heisel U．并聯運動機床［M］．北京:機械工業出版社，2003．

［2］汪勁松，李鐵民，段廣洪．并聯構型裝備的研究進展及若干關鍵技術［J］．中國工程科學，2002，4（6）:63－70．

［3］劉泉，張建民，王先逵．直線電動機在機床工業中的最新應用及技術分析［J］．機床與液壓，2004（6）:1－3．

［4］劉強，陳靜，吳文鏡，等．高性能數控機床幾項關鍵設計技術的研究應用進展［J］．航空制造技術，2009（5）:42－45．

［5］張秀峰，于凌濤，孫立寧．并聯機構雅克比矩陣的新式解法［J］．機械設計與制造，2003，12（6）:60－61．