基于強度穩定綜合理論的深海潛器耐壓圓柱殼極限強度的解算

馮亮，佟福山

(哈爾濱工程大學船舶工程學院，黑龍江哈爾濱150001)

深海潛器作為資源勘探、事故處理的重要裝備得到了廣泛的應用.通常情況，下潛深度為1 000 m左右的潛水器和潛艇采用承壓性高、內部空間大的加肋圓柱殼結構作為其耐壓殼體.因此為了保證人類的生命安全，對加肋圓柱殼極限強度的研究是有重要意義的.

文獻［1］通過解析梁柱復雜穩定性問題得出強度穩定綜合理論方法(combined theory of strength and stability，CTSS)，該方法在球殼的極限強度計算上的半經驗半解析的公式已經得到了很好的應用，但其解析的計算方法的關鍵——綜合因子n的計算問題還沒有得到很好的解決.

本文通過對彈性基礎梁復雜彎曲綜合因子N的解算，得以應用CTSS的解析法對彈性基礎梁復雜彎曲的穩定性進行計算，從而得出圓柱殼和加肋圓柱殼殼板失穩的臨界應力公式.最后通過與實驗結果和王曉天等工作的比較，證明了CTSS的解析法適用于圓柱殼極限強度的計算.

1 梁柱復雜彎曲時的失效解

圖1所示的是受復雜載荷的梁柱，對于這樣的結構其失效模式有2種:1)失效模式是橫向均布載荷q占主導，軸向載荷N為輔助，結構最終會由于彎曲而失效，對于這種失效模式，文獻［2］給出了輔助函數的解決方案，即軸向應力對結構的彎曲失效產生不利的影響;2)失效模式是軸向載荷N占主導，橫向載荷q為輔助，此時結構會由于穩定性不足而破壞，也就是常說的失穩破壞.

圖1 梁柱載荷作用Fig.1 Load of beam-column

文獻［3］對于此種情況進行具體解算，最后得出橫向載荷和初始撓度會對結構的穩定性產生不利影響，并且給出了相應的計算公式，即

其中:n為簡支梁的綜合因子，其解析式為

2 彈性基礎梁復雜彎曲時的臨界解

文獻［4］給出彈性基礎梁在邊界條件為簡支的情況下臨界解:

由文獻［3-5］可知，橫向載荷以及初始撓度對于結構穩定性的影響可用綜合因子的修正來計算.于是，彈性基礎梁復雜彎曲的臨界解:

其中:N為彈性基礎梁的綜合因子.

對于彈性基礎梁，其綜合因子N的算式可通過對簡支梁的綜合因子n的修正得到.由文獻［2］可知，彈性基礎對梁中間彎矩的影響系數為χ1(μ)，于是得出彈性基礎梁的綜合因子:

其中:

3 圓柱殼和加肋圓柱殼的臨界解

3.1 圓柱殼的臨界解

由文獻［6］可知，有限長薄壁圓柱殼軸對稱彈性變形微分方程為

式(6)是把圓柱殼看成由許許多多梁帶組成，研究任意一根梁帶得到的.就其結構而言，是一個連續的彈性基礎梁的復雜彎曲方程.

于是由式(3)得，圓柱殼受均勻外壓力時的殼板臨界壓力:

臨界應力:

當綜合因子N=1時，由式 (7)得

式(9)是僅存在軸向壓力作用在圓柱殼艙壁時殼板失穩的臨界解.

當壓力沿母線壓縮時，由式(9)得閉合圓柱形薄殼的臨界解:

式(10)是經典線性解.

由此得出，圓柱殼的壓力無論是作用在艙壁上還是作用在母線上，其周向載荷和初始撓度的存在對結構穩定降低的程度可用綜合因子N來修正，即圓柱殼的極限強度可以用CTSS方法進行計算.

3.2 加肋圓柱殼的臨界解

文獻［6］描述了3種失效模式，分別是殼板失穩、支骨失穩、整體失穩.其中可以把第2種失穩模式看成是第3種的特殊情況來計算.當肋骨足夠強時，發生殼板失穩，此時充分的發揮了殼板的承載作用;當肋骨比較弱時，發生整體失穩，此時并沒有完全發揮殼板的承載能力作用.

由文獻［7］可知加肋圓柱殼的數學模型是一個復雜彎曲的彈性基礎梁，如圖2.

肋骨柔度A1，剛度K=當肋骨的剛度大于臨界剛度時，即殼板發生失穩，當肋骨的剛度小于臨界剛度時，肋骨發生移動，即整體失穩.

圖2 彈性基礎梁Fig.2 Elastic foundation beams

由文獻［4］可知當彈簧支座單跨度壓桿的彈性支座剛度足夠大時，其失穩的臨界壓力可按照簡支的邊界條件計算.同理，彈性基礎梁的單跨梁在同樣條件下也可以按照簡支的邊界條件進行計算.于是在肋骨剛度大于臨界剛度時，并且加肋圓柱殼的殼板結構系數φ小于臨界系數時(后面將說明這個問題)，加肋圓柱殼殼板失穩的臨界解可按式(7)計算.當肋骨剛度小于臨界剛度時，由文獻［2］中間彈性支座的雙跨梁的失效模式可推知彈性支座發生移動，結構發生整體失穩，此時結構的臨界解可按照文獻［6］中的整體失穩公式進行計算:

并且由分析可知，此類圓柱殼可以通過加大肋骨來提高承壓能力.當加肋圓柱殼板的結構系數φ大于臨界系數時，結構的失效模式發生改變，即由穩定失效轉變為強度失效.應該采用文獻［2］的輔助函數方法進行校核.

4 圓柱殼綜合因子N的取值

4.1 適用條件

以上結論是基于彈性基礎梁復雜彎曲由于穩定性失效所得出的結論，所以對結構的結構系數φ=σ0/σE是有要求的.

文獻［3］對簡支梁失效模式進行了探討，結構參數在θ≤φ≤3+－2時，式(1)任意載荷都能解出臨界解，即此時結構失效模式是穩定失效;當結構參數僅滿足(1－)2≥φ≥3+e－2時，并不是所有的載荷m都能解出臨界解，即當橫向載荷q大到一定程度時，這種結構的失效模式是強度失效，應該采用文獻［2］的輔助函數方法進行校核.

對于彈性基礎梁，由于彈性基礎的存在，結構存在臨界解的范圍應該更大.所以結構系數按照以上范圍來取值是趨于保守的.

對于圓柱殼結構來說，殼板結構系數為

結構系數φ在以上范圍內，即小于臨界系數時，圓柱殼的結構存在臨界解，解的大小如式(7);當結構系數φ大于臨界系數時，結構不存在臨界解，結構由于強度問題所破壞，應按照文獻［2］的輔助函數方法進行校核.

4.2 綜合因子N的取值

經上面的分析，圓柱殼的綜合因子N與彈性基礎梁的綜合因子N的算式是同一的，如式(4).但不同的是，對于圓柱殼來說需要借助簡支梁綜合因子n的極值來求出具體的數值.

根據文獻［3］，對于簡支梁柱綜合因子n的算式和取值范圍為

只考慮橫向載荷時

只考慮初始撓度時

綜合考慮橫向載荷和初始撓度時

對于圓柱殼的綜合因子:

其中:

相當于式(4)中取b=1.

5 極限強度計算與結果對比分析

5.1 CTSS對結構極限強度的求解方法

由文獻［8］的中衍生比例定律可推知，線性臨界應力是結構的一個重要平衡參數.CTSS是通過這個平衡參數與強度利用率函數即切線模量因子曲線方程結合來對結構極限強度問題進行求解的，它分為2個部分:1)通過采用材料的切線模量因子曲線來解決結構的物理非線性問題;2)通過采用結構的綜合因子n來解決結構由于橫向強度和初始缺陷所引起的幾何非線性問題.其表達式如下:

式中:ψ =σcr/σ0，Φ =nφ，φ =σ0/σE為結構系數.

5.2 與高強鋼加肋圓柱殼實驗研究的對比分析

據文獻［9］模型實測，與材料實驗拉伸實驗數據如表1所示.

模型材料的力學性能是通過拉伸實驗得到的，屈曲應力 σs為 321.73 MPa，比例極限 σp是187.29 MPa，彈性模量 E 為 209 269.7 MPa.材料應力應變曲線非線性表達式如下:

表1 實測模型幾何尺寸Table 1 The size of the modemm

由此應力應變關系可得材料的切線模量因子曲線如圖3所示.

圖3 鋼材切線模量因子曲線Fig.3 Tangent modulus factor curve

強度利用率函數［1］

通過式(11)、12)、(15)和(16)取值后，計算結果如表2.

表2 實驗、常規算法以及本文算法結果對比Table 2 Comparison of calculation results MPa

從結果來看，這5個模型的實驗值與本文殼板失穩結果吻合的很好，誤差不超過4%.由于在計算圓柱殼綜合因子N時引入了梁柱結構綜合因子n的極值，使得本文的算法偏于保守，也因此對于模型ST2、ST3、ST5，本文計算結果相對較小.但對于模型ST1、ST4，本文計算結果相對較大，是由于模型ST1、ST4的肋骨較小，對殼板的支撐不足所致.不過從總體上來說，本文的方法簡單有效，可以用于對圓柱殼以及加肋圓柱殼的極限強度的預測.

同時，本文的解析結果在理論上證明了文獻［10-11］的結論，并且在分析的基礎上增加了對圓柱殼綜合因子N的分析.由文獻［5］可知橫向強度與初始撓度對結構的影響是相同的，并且都可以用綜合因子n的形式表達.所以通過引入綜合因子n使得本文的計算方法擴展到對含初始撓度圓柱殼的極限強度解算.

5.3 含初始撓度的加肋圓柱殼的極限強度解算

CTSS方法是通過綜合因子N的取值來修正初始撓度對于對圓柱殼穩定性的影響.其取值按式(14)、(15)計算.這里特別要指出當初始撓度過大時，結構由穩定性失效轉化為強度失效，所以應該采用文獻［2］的輔助函數方法進行校核.

6 結論

1)本文通過對彈性基礎梁和圓柱殼結構綜合因子N的具體解算，得以應用CTSS方法去解決這兩種結構的復雜穩定性問題.通過與實驗結果和王曉天等人的工作比較，證明了CTSS方法在圓柱殼結構殼板極限強度計算上的適用性.

2)通過本文的計算補充了CTSS方法在彈性基礎梁和圓柱殼結構的計算方法，也拓展了CTSS的應用范圍.

3)CTSS方法是一種新興的方法，其發展只有幾十年，還有許多結構的綜合因子需要解算，這些工作還需力學工作者的進一步研究.

［1］羅培林.用極限分析方法分析梁柱和球殼的穩定性［J］.哈爾濱船舶工程學院學報，1981(2):21-50 LUO Peilin.Stability analysis of columns and spherical shells by using limit analysis method［J］.Journal of Haerbin Shipbuilding Engineering Institute，1981(2):21-50.

［2］陳鐵云，陳伯真.船舶結構力學［M］.北京:國防工業出版社，1984:12.CHEN Tieyun，CHEN Bozhen.Structual mechamics for ships［M］.Beijing:National Defence Industrial Press，1984.12.

［3］馮亮.基于強度穩定綜合理論的船體結構極限強度研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工程大學，2011:11-44.FENG Liang.Ultimate strength research of hull structure with method of combined theory of strength and stability［D］.Harbin:Harbin Engineering University，2011:11-44.

［4］周承倜.彈性穩定理論［M］.成都:成都四川人民出版社，1981:56.ZHOU ChengTi.Theory of elastic stability［M］.Chengdu:Sichuan People＇s Publishing House，1981:56.

［5］石德新.梁柱問題和壓桿第二類穩定問題的共性［J］.哈爾濱工程大學學報，1991，12(1):21-30.SHIDexin.General character of beam-cloumn and axially loaded bar of second kind stabilty［J］.Journal of Harbin Engineering University，1991，12(1):21-30.

［6］許輯平.潛艇強度［M］.北京:國防工業出版社，1980:66-76.XU Jiping.Strength of submarine［M］.Beijing:National Defence Industrial Press，1980:66-76.

［7］石德新，王曉天.潛艇強度［M］.哈爾濱:哈爾濱工程大學出版社，1997:21.SHIDexin.WANG Xiaotian.Strength of submarine［M］.Harbin:Harbin Engineering University Press，1997:21.

［8］張志平.廣義切線模量理論［D］.哈爾濱:哈爾濱工程大學，2005:11-24.ZHANG Zhiping.Generalized tangent modulus theory and its applications［D］.Harbin:Harbin Engineering University，2005:11-24.

［9］石德新，江世媛，張淑拄.潛艇加肋圓柱殼殼板軸對稱破壞模式的極限狀態分析［J］.哈爾濱工程大學學報，1995，16(4)):14-20.SHIDexin，JIANG Shiyuan，ZHANG Shuzhu.The limit analysis for the axisymmetric failure of the submarine ringstiffened cylindrical shells［J］.Journal of Harbin Engineering University，1995，16(4):14-20.

［10］王曉天，高艷，許輯平.大型潛艇總穩定性計算中出現異常特性的研究［J］.中國造船，1990(3):36-46.WANG Xiaotian.GAO Yan，XU Jiping.A study on the unusual features of the traditional calculation method of overall stability for large submarines［J］.Shipbuilding of China，1990(3):36-46.

［11］王曉天，鄧劍平，寧林，等.環肋圓柱殼穩定特性與破壞模式的探討［J］.哈爾濱工程大學學報，1997，18(3):13-21.WANG Xiaotian，DENG Jiping，NING Lin，et al.A study of the stability features and buckling patterns of the ringstiffed cylindrical shell［J］.Journal of Harbin Engineering University，1997，18(3):24-25.

［12］謝金新基于參數化有限元的潛水器結構優化設計［D］哈爾濱:哈爾濱工程大學，2010:11-44.XIE Jinxin.Structral optimization design of underwater vehicle based on parametric finite element［D］.Harbin:Harbin Engineering University，2011:24-25.