關于(m，n)－凝聚環

龔志偉

(福建農林大學 計算機與信息學院，福建 福州 350002)

0 引言

本文總設環為有單位元的結合環，模均為酉模，用pd，fd表示模的投射維數，平坦維數。其余未指明的定義和符號可參見文獻［1］和［2］。

1984年 Ng.H.K.在文［3］定義并研究了模的有限表現維數(f.p.dim)的概念，它度量了一個模為有限表現模的程度.1989年丁南慶教授在文［4］中定義了M的有限生成維數f.g.d(M)，它度量了模M為有限生成模的程度。作為推廣，在文［5］中研究了模的n－表現維數FPnd(M)。它度量了一個模M為n－表現模的程度。

作為n－表現維數的應用，本文利用n－表現維數引進了(m，n)－內射模及(m，n)－平坦模的概念，討論了它們的性質，并引進了右(m，n)－凝聚環的概念，給出了右(m，n)－凝聚環的若干刻畫。

預備知識:

定義1.1 設M為右R－模，定義M的n－表現維數為

其中 Pm，…，Pm+n是有限生成的}。

若無上述分解存在，則定義FPnd(M)=∞。

顯然，FP0d(M)即為文［4］中的有限生成維數f.g.d(M)，FP1d(M)即為文［3］中的有限表現維數f.p.d(M)。由定義1.1 知，M 是n － 表現模當且僅當FPnd(M)=0。

1 (m，n)－內射模與(m，n)－平坦模

定義2.1(1)設m，n是非負整數，M為右R－模，若對任意右 R－模 P，且FPnd(P)=m，都有(P，M)=0，則稱 M 是(m，n)－內射的。

(2)設m，n是非負整數，M為右R－模，若對任意左R－模 Q，且 FPnd(Q)=m，都有(M，Q)=0，則稱M是(m，n)－平坦的。(m，n)－內射左R－模和(m，n)－平坦左R－模可類似的定義。

顯然，右R－模M 是(0，n)－內射的((0，n)－平坦的)當且僅當它是n－FP－內射的(n－平坦的)。

命題 2.2 設{Mi}i∈Ⅰ是右 R － 模集，m，n 是非負整數，則

(1)⊕ⅠMi是(m，n)－平坦的當且僅當每個Mi是(m，n)－平坦的。

(2)ⅡⅠMi是(m，n)－內射的當且僅當每個Mi是(m，n)－內射的。

命題2.3 M是(m，n)－平坦右R－模當且僅當M*是(m，n)－內射左R－模。

命題2.4(1)(m，n)－平坦模的純子模是(m，n)－平坦的。

(2)(m，n)－內射模的純子模是(m，n)－內射的。

證明(1)設M是(m，n)－平坦模，N是M的純子模，則由純正合列

可知，有可列正合列

由命題2.3可知M*是(m，n)－內射的，從而由命題2.2可知N*是(m，n)－內射的，又由命題2.3可知N是(m，n)－平坦的。

(2)設N是(m，n)－內射模M的純子模，且FPnd(P)=m，則存在投射分解

其中Pm，…，Pm+n是有限生成的。令 K=kerdm－1，則K 是n－表現的。因為(K，M)?(P，M)=0，所以由文［6，命題 2.6］可知，(P，N)?(K，N)=0.即N 是(m，n)－內射的。

2 (m，n)－凝聚環的刻畫

定義3.1 環R稱為右(m，n)－凝聚環，如果對于每個n－表現維數為m的右R－模P均有FPnd(P)=FPn+1d(P).

定理3.2 設R是環，m，n是非負整數，則下列敘述等價.

(1)R是右(m，n)－凝聚環。

(2)對任意左R － 模集{Mi}i∈Ⅰ和右R－模P，且FPnd(P)=m，都有(P，ⅡⅠMi)?(P，Mi)。

(3)(m，n)－平坦左R－模的任意直積是(m，n)－平坦的。

(4)RR的任意直積是(m，n)－平坦的。

(5)對任意右R－模正向系(Mi)Ⅰ和右R－模P，且FPnd(P)=m，都有Extm+n(P，Mi)?Extm+n(P，Mi).

(6)任意(m，n)－內射模的正向極限是(m，n)－內射的。

(8)對任意的右R－模M，M是(m，n)－內射的當且僅當M*是(m，n)－平坦的。

(9)對任意的右R－模M，M是(m，n)－內射的當且僅當M＊＊是(m，n)－內射的。

(10)對任意的左R－模U，U是(m，n)－平坦的當且僅當U＊＊是(m，n)－平坦的。

證明(1) ?(2).設 FPnd(P)=m，因為 R是右(m，n)－凝聚環，所以FPn+1d(P)=m，從而有投射分解

其中Pm，…，Pm+n+1是有限生成的。設Ki=kerdi，則Km+n－1是有限表現的。由于對于任意左R－模集{Mi}i∈Ⅰ，有如下的行正合交換圖，

因為 Km+n－1，Pm+n－1是有限表現的，所以由［7，命題5.11］可知 g，h同構，從而f也是同構的。因此，

(2)?(3)?(4)是顯然的。

(4)?(1).對于給定的模P，且FPnd(P)=m，則在上面交換圖中 Km+n－1是有限表現的。設 Mi=RR，由(4)有

又由［7，命題5.11］可知 h，k同構，因此 g是同構的，又由［7，命題5.11］可知 Km+n是有限表現的，因此FPn+1d(P)≤m，又因為m=FPnd(P)≤FPn+1d(P)，所以 FPnd(P)=FPn+1d(P)，故 R 是右(m，n)－凝聚環。

(1)?(7).設 FPnd(P)=m，因為 R是右(m，n)－凝聚環，所以FPn+1d(P)=m，從而有投射分解

其中 Pm，…，Pm+n+1是有限生成的。設 Ki=kerdi，則Km+n－1是有限表現的。由于對于任意左R－模集{Mi}i∈Ⅰ，有如下的行正合交換圖，

由［9，引理3.60］可知，任意有限表現模P和內射模C有

因為 Km+n－1，Pm+n－1是有限表現的，所以 g，h 同構，從而f也是同構的。因此，

(7)?(8).設 S=Z，C=Q/Z，B=M，則由(7)可知有(P，M*)?(P，M)*，因此(8)成立。

(8)?(9).注意到0→M*→M＊＊是可裂的(由［1，命題20.14］)。若 M＊＊是(m，n)－內射的，由(8)可知M＊＊＊是(m，n)－平坦的，因此 M*是(m，n)－平坦的，又由(8)可知M是(m，n)－內射的.反之，若M是(m，n)－內射的，由(8)可知M*是(m，n)－平坦的，從而由命題2.3可知M＊＊是(m，n)－內射的。

(9)?(10).U＊＊是(m，n)－平坦的，則由命題2.3可知，當且僅當 U＊＊＊是(m，n)－內射的，由(9)可知，當且僅當U*是(m，n)－內射的，從而又由命題2.3可知，當且僅當U是(m，n)－平坦的。

(10)?(4).由命題2.2 可知，⊕ⅠR 是(m，n)－平坦的，所以由(10)可知(⊕ⅠR)＊＊?(ⅡⅠR*)*是(m，n)－平坦的.又由［10，引理1(1)］可知，⊕ⅠR*是ⅡⅠR*的純子模，從而(ⅡⅠR*)*→(⊕ⅠR*)*→0可裂，因此ⅡⅠR＊＊?(⊕ⅠR*)*是(m，n)－平坦的。又由［10，引理 1(2)］可知，ⅡⅠR 是ⅡⅠR＊＊的純子模，從而由命題2.4可知.ⅡⅠR是(m，n)－平坦的。

［1］Anderson F W，Fuller K R.Ring and categories of modules:2nd edition［M］.New York:Spring － Verlag，1992.

［2］佟文廷.同調代數引論［M］.北京:高等教育出版社，1998.

［3］Ng H K.Finitely presented dimension of commutative rings and modules［J］.Pacific of Math，1984，113:417 －431.

［4］丁南慶.模的有限生成維數［J］.南京大學學報數學半年刊，1989(1):107－111.

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