考慮地下水、注漿及襯砌影響的深埋隧洞彈塑性解

胡力繩，王建秀，盧耀如

（1. 中鐵二局股份有限公司, 成都 610031；2. 同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室,上海 200092）

1 引 言

對于深埋隧洞，地下水-圍巖-注漿圈-襯砌共同構成了一個水壓平衡體系，它們之間的相互作用決定了圍巖穩(wěn)定、注漿圈止水以及襯砌受力的最終狀態(tài)。在深埋隧洞應力與塑性區(qū)計算方面，經(jīng)典的隧洞彈塑性解均沒有考慮滲流場的作用[1－7]；Поинматкин[8]首次推導了各因素對稱條件下滲流場作用下的圓形斷面隧洞彈性解；Fenner公式、修正的Fenner公式和Kastner公式[9]給出了無限大均質(zhì)體中軸對稱圓形隧洞屈服范圍與材料抗剪強度、初始地應力和洞內(nèi)周邊均布荷載的關系；張德興[10]推導了承壓引水隧洞的黏彈性解；王桂芳[11]給出了隧洞圍巖自重作用下，襯砌、圍巖變形及內(nèi)力的黏彈性解；張良輝等[12]基于巖體彈脆塑性模型及非關聯(lián)流動法則，并考慮地下水壓力的作用，對灌漿隧洞圍巖應力與位移的計算公式進行了理論推導；蔡曉鴻等[13－16]提出了不同施工階段不同排水條件下，水工壓力隧洞圍巖和襯砌結構應力的彈塑性計算方法；宋俐等[17]修正了Fenner公式，但未考慮襯砌透水性的影響；任青文[18]通過修正Fenner公式，對水工隧洞運行期高內(nèi)水壓作用下圍巖塑性區(qū)半徑進行了計算；李宗利等[19]推導了滲流場作用下，第一主應力為徑向應力的深埋圓形隧洞應力彈塑性解，但并未考慮襯砌及注漿圈的影響；吉小明、王宇會[20]給出了隧洞工程飽和孔隙介質(zhì)地層中考慮地下水滲流力作用下的應力、位移表達式；任青文、邱穎[21]針對具有襯砌的圓形隧洞，得出了彈塑性條件下應力與塑性區(qū)的計算公式和適用條件；王秀英等[22－23]建立了山嶺隧洞堵水限排情況下圍巖力學特性分析的解析模型并進行了理論推導；張黎明等[24]考慮地下水滲流場的作用，將裂隙圍巖視為兩相介質(zhì)體，基于彈性力學理論和巖體應變非線性軟化特征對襯砌隧洞進行了彈塑性分析，推導了滲流場作用下圍巖與襯砌的應力和位移解析計算公式；Bobet[25]推導了全排水或不排水條件下隧洞襯砌結構應力彈性解計算公式，國外其他學者在此方面也進行了大量研究[26－29]。

目前，相對成熟的隧洞圍巖荷載設計理論僅涉及到 4個因素中的隧洞圍巖-支護結構體系之間的相互作用，在地下水影響方面，僅在圍巖分類中采用降級的方法予以考慮；國內(nèi)外學者的研究只考慮了地下水、圍巖、注漿圈、襯砌其中部分因素的相互作用。基于此，本文推導了上述 4個因素共同作用下的深埋隧洞軸對稱問題的彈塑性解及塑性區(qū)計算公式，并與傳統(tǒng)計算方法進行了對比，推導過程分為滲流場水壓力計算與應力計算兩部分。

2 考慮地下水與注漿影響的隧洞滲流場水壓力計算

深埋隧洞滲流場水壓力計算基于以下假定：①圍巖為均質(zhì)各向同性連續(xù)介質(zhì)；②含水層面積無限延伸，水流服從達西定律且為穩(wěn)定流；③地下水不可壓縮，當水頭下降時，水瞬時排出；④隧洞斷面為圓形，水直接從襯砌表面均勻滲出后排出；⑤隧洞埋深遠遠大于隧洞洞徑，洞周滲流可簡化為軸對稱徑向滲流問題。分別以圍巖、注漿圈及襯砌為研究對象，并利用邊界條件，解得隧洞滲流場孔隙水壓力計算公式[30]

3 考慮地下水與注漿影響的隧洞應力與塑性區(qū)計算

3.1 基本假定與計算模型

計算公式推導基于以下基本假定：①含水層面積無限延伸，地下水不可壓縮，水流服從達西定律且為穩(wěn)定流；②不考慮重力場的作用；③遠場垂直地應力與水平地應力相等；④圍巖、襯砌為均質(zhì)各向同性連續(xù)彈塑體介質(zhì)，襯砌與圍巖共同作用并保持變形連續(xù)；⑤隧洞埋深遠大于洞徑，將整個問題等效為軸對稱平面問題；⑥圍巖與襯砌破壞服從摩爾-庫侖屈服準則，屈服區(qū)第一主應力為徑向應力。已有研究表明，當隧洞內(nèi)水壓力為0或遠小于遠場地應力時，該假定是合理的[18]。

簡化計算模型見圖 1，設無窮遠處作用有初始地應力q，注漿圈外半徑處徑向應力為p2，襯砌外半徑處徑向應力為p1，彈塑性區(qū)交界面處的徑向應力為pp，塑性區(qū)半徑為rp，圍巖、注漿圈、襯砌的彈性模量分別為Er、Eg、El，泊松比分別為μr、μg、μl，黏聚力分別為cr、cg、cl，內(nèi)摩擦角分別為φr、φg、φl。

根據(jù)彈性力學理論，并考慮滲透水壓力的作用，上述問題的平衡微分方程為[1]

式中：α為滲透水壓力作用面積系數(shù)；σr、σθ分別為計算區(qū)域內(nèi)某點的徑向和環(huán)向有效應力（文中均簡稱為徑向應力和切向應力，規(guī)定拉應力為正，壓應力為負）。

圖1 計算模型Fig.1 Calculation model

對于塑性區(qū)圍巖，其屈服條件滿足摩爾-庫侖準則，當考慮滲透水壓力作用時，摩爾-庫侖屈服準則變?yōu)閇13]

式中：c、φ分別為黏聚力與內(nèi)摩擦角；σ、τ分別為正應力與剪應力。

根據(jù)基本假定 σθp＜σrp＜0，得到屈服區(qū)徑向應力σrp與切向應力σθp的關系式為

3.2 彈塑性區(qū)交界面位于襯砌內(nèi)（ r0< rp≤r1）

對于注漿圈范圍之外、注漿圈范圍之內(nèi)的彈性區(qū)圍巖，應力邊界條件為

根據(jù)文獻[3]，對于邊界條件式中的第1項，可用有限半徑代替無限值的計算結果，取有限半徑為r2，根據(jù)平衡微分方程式（2），可解得彈性區(qū)位移及應力計算公式為

式中：Ur,rcok、σr,rcok、σθ,rcok分別為注漿圈之外圍巖的徑向位移、徑向應力與切向應力； Ur,grout、σr,grout、σθ,grout分別為注漿圈的徑向位移、徑向應力與切向應力。

對于塑性區(qū)的應力，根據(jù)屈服條件、平衡微分方程及邊界條件為

可解得襯砌塑性區(qū)徑向應力計算公式為

將r=rp代入式（8），解得彈塑性區(qū)交界面處的徑向應力pp為

根據(jù)圍巖變形連續(xù)假定，得到塑性區(qū)半徑rp的計算公式為

利用接觸條件，在注漿圈外半徑、襯砌外半徑處圍巖變形連續(xù)，即

由式（11）可得到p1、p2關于 rp與pp的計算公式，將求得的p1、p2與式（9）代入式（10），可得到關于rp的隱性計算公式，采用迭代法或試算法求解rp，利用rp可求出p1、p2、pp，從而求得彈性區(qū)與塑性區(qū)應力。

3.3 彈塑性區(qū)交界面位于注漿圈內(nèi)（ r1< rp≤rg）

對于注漿圈范圍之外的彈性區(qū)圍巖，其應力及位移可參照式（6）進行計算；對于注漿圈范圍內(nèi)的彈性區(qū)圍巖，根據(jù)平衡微分方程和邊界條件為

得到注漿圈彈性區(qū)圍巖位移及應力計算公式為

對于隧洞塑性區(qū)，可將其分為襯砌范圍內(nèi)及襯砌范圍之外注漿圈范圍之內(nèi)兩部分進行計算，對于襯砌范圍內(nèi)的塑性區(qū)應力計算，根據(jù)邊界條件

可解得襯砌范圍內(nèi)塑性區(qū)徑向應力為

將r=rl代入式（15），得到襯砌外半徑處的徑向應力p1為

對于注漿圈范圍內(nèi)的塑性區(qū)應力計算，根據(jù)邊界條件

可解得注漿圈范圍內(nèi)塑性區(qū)徑向應力為

將r=rp代入式（18），得到彈塑性區(qū)交界面處的徑向應力pp為

根據(jù)圍巖變形連續(xù)假定，得到塑性區(qū)半徑rp的計算公式為

利用圍巖變形連續(xù)假定，在注漿圈外半徑處徑向位移相等，即

得到注漿圈外半徑處的徑向應力p2關于rp與pp的計算公式，將p2與式（19）代入式（20），利用迭代法或試算法可解得rp，利用rp可求出pp、p2，從而求出彈性區(qū)圍巖應力。

3.4 彈塑性區(qū)交界面位于注漿圈之外（ rp>rg）

對于塑性區(qū)范圍之外的彈性區(qū)圍巖，根據(jù)平衡微分方程和邊界條件

可得到彈性區(qū)圍巖應力計算公式為

對于塑性區(qū)圍巖，可將其分為未注漿圍巖、注漿圈及襯砌3部分，這3部分的應力邊界條件為

根據(jù)平衡微分方程，可解得塑性區(qū)襯砌徑向應力為

將r=rl代入式（25），可得襯砌外半徑處的徑向應力p1為

同理，可解得塑性區(qū)注漿圈徑向應力為

將r=rg代入式（27），可得注漿圈外半徑處的徑向應力p2為

塑性區(qū)圍巖徑向應力為

將r=rp代入式（29），得到彈塑性區(qū)交界面的徑向應力pp為

根據(jù)圍巖變形連續(xù)假定，得到塑性區(qū)半徑rp的計算公式為

將式（26）、（28）、（30）代入式（31），利用迭代法或試算法可解得rp，利用rp可求出pp，從而求出圍巖應力。對于塑性區(qū)的切向應力，可以按照屈服條件式（4）進行求解，利用Matlab編制程序對上述公式進行計算。需要說明的是，隨著隧洞內(nèi)水壓力的增大，切向應力將可能成為第一主應力，可改變式（4）的屈服條件，對隧洞應力及塑性區(qū)計算公式重新進行推導。

4 工程應用

4.1 工程背景

以某深埋隧洞工程為例，計算參數(shù)如下：隧洞斷面為圓形，襯砌內(nèi)半徑r0=4 m，外半徑 rl=5 m，遠場穩(wěn)定水壓力P=1 MPa，隧洞內(nèi)水壓力為p0，遠場穩(wěn)定水壓力半徑 R=200 m，遠場地應力q=10 MPa，巖體彈性模量Er=10 GPa，泊松比μr=0.25，黏聚力cr=1 MPa，內(nèi)摩擦角φr=40o，綜合滲透系數(shù)kr=5×10-6m/s；注漿圈彈性模量Eg=10 GPa，泊松比μg=0.25，黏聚力cg=1.5 MPa，內(nèi)摩擦角φg=40o；襯砌彈性模量El=25 GPa，泊松比μl=0.15，黏聚力cl=5 MPa，內(nèi)摩擦角φl=45o，滲透系數(shù)kl=1×10-8m/s；取α=1.0，通過試算法確定有限計算半徑取20倍洞徑。

4.2 與傳統(tǒng)方法計算結果的對比

分別利用本文公式、李宗利公式[19]（該方法未考慮注漿圈及襯砌的影響，取p0=0）、彈性力學厚壁圓筒拉梅解（該方法未考慮滲流場、注漿圈及襯砌的影響，取 P=p0=0）計算隧洞應力與塑性區(qū)。

以毛洞開挖階段為例，該階段只存在地下水、圍巖的相互作用，本文方法與李宗利法的計算結果見圖2（rp、分別為兩種方法計算的塑性區(qū)半徑）。從圖中可以看出，兩種方法計算得到的應力大小、應力分布規(guī)律以及塑性區(qū)半徑均較為接近，從而驗證了本文公式的可靠性。

圖2 本文方法與李宗利方法計算結果對比Fig.2 Comparison of calculated results between the method presented in this paper and the Lizongli’s method

若不考慮滲流場的影響，將襯砌、注漿圈的物理力學參數(shù)與圍巖取為一致，則本文計算結果與經(jīng)典的彈性力學厚壁圓筒拉梅解完全一致（見圖3），從而驗證了本文公式的正確性。

圖3 本文方法與拉梅解計算結果對比Fig.3 Comparison of calculated results between the method presented in this paper and the Lame’s method

分別利用本文公式與修正的Fenner公式，計算了不同條件下的隧洞塑性區(qū)。修正的 Fenner公式為[19]

（1）無注漿條件下隧洞塑性區(qū)計算

計算了開挖洞徑分別為4、5 m，不同滲流場條件下的塑性區(qū)（見圖4）。從圖中可以看出，在第一主應力為徑向應力的條件下，隨著內(nèi)水壓力的增大，塑性區(qū)逐漸減小，兩種方法計算結果差異逐漸減小；隨著開挖斷面的增大，塑性區(qū)逐漸增大，兩種方法計算結果差異逐漸增大，洞徑為4 m時最大差異為2.2 m，洞徑為5 m時最大差異為3.4 m；由于修正的Fenner公式?jīng)]有考慮滲流場的影響，對于無注漿條件下隧洞開挖階段圍巖塑性區(qū)的計算，其計算結果較考慮滲流場作用時偏小，計算結果不夠安全。

圖4 無注漿條件下隧洞塑性區(qū)兩種方法計算結果對比Fig.4 Comparison of tunnel plastic zone calculated results without grouting between the two methods

（2）注漿條件下隧洞塑性區(qū)計算

計算了不同襯砌厚度、不同滲流場條件下的隧洞塑性區(qū)，計算結果見圖 5。由圖可知，隨著內(nèi)水壓力的增大，塑性區(qū)逐漸減小，兩種方法的計算結果差異逐漸減小。隨著襯砌厚度的增大，塑性區(qū)逐漸減小，兩種方法計算結果差異逐漸增大。對于地下水-圍巖-注漿圈-襯砌共同作用下的隧洞塑性區(qū)計算，由于修正的Fenner公式不能考慮注漿圈對圍巖強度的提高、注漿圈的止水作用以及襯砌的影響，其計算結果較考慮上述因素偏大，計算結果偏于保守。

圖5 注漿條件下隧洞塑性區(qū)兩種方法計算結果對比Fig.5 Comparison of grouting tunnel plastic zone calculated results between the two methods

4.3 注漿對塑性區(qū)的影響規(guī)律

不同注漿條件下注漿圈厚度 Dg與塑性區(qū)范圍rp的關系曲線見圖 6。隨著注漿圈厚度的增大與注漿圈止水能力的增強，塑性區(qū)逐漸減小，注漿圈厚度與塑性區(qū)范圍近似呈對數(shù)遞減關系。注漿圈止水效果越好，增大相同的注漿圈厚度，塑性區(qū)減小幅度越大，故在施工中應盡量保證注漿質(zhì)量。從圖中還可以看出，注漿圈厚度并不是越大越好，而是存在最優(yōu)值，超過該值后繼續(xù)增大注漿圈厚度對限制塑性區(qū)的發(fā)展已無明顯意義，最優(yōu)值可根據(jù)注漿圈厚度-塑性區(qū)關系曲線進行確定。

圖6 注漿圈厚度與塑性區(qū)范圍關系曲線Fig.6 Grouting ring thickness-plastic zone curves

5 結 論

（1）考慮地下水、注漿及襯砌的影響，推導了深埋隧洞軸對稱問題的彈塑性解，通過與現(xiàn)有方法進行對比，證明本文公式的計算結果是可靠的。若不考慮滲流場、襯砌及注漿圈的影響，則本文公式的計算結果與厚壁圓筒拉梅解完全一致。

（2）傳統(tǒng)的隧洞應力與塑性區(qū)計算方法沒有或只有部分考慮了地下水、注漿圈、襯砌的作用，以修正的Fenner公式為例，對于無注漿條件下的隧洞塑性區(qū)計算，其計算結果是不夠安全的；對于注漿條件下的隧洞塑性區(qū)計算，其計算結果偏于保守。

（3）與修正的Fenner公式計算結果對比表明，隨著內(nèi)水壓力的增大，兩種方法計算結果差異逐漸減小；隨著開挖斷面及襯砌厚度的增大，兩種方法計算結果差異逐漸增大。

（4）隨著注漿圈厚度的增大與注漿圈止水能力的增強，塑性區(qū)范圍逐漸減小；注漿圈厚度存在最優(yōu)值，該值可通過注漿圈厚度-塑性區(qū)關系曲線進行確定。

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