地空導彈三點法三維運動學彈道建模與仿真

張大元, 趙玉芹, 雷虎民, 吳一鳴

(空軍工程大學 導彈學院, 陜西 三原 713800)

地空導彈三點法三維運動學彈道建模與仿真

張大元, 趙玉芹, 雷虎民, 吳一鳴

(空軍工程大學 導彈學院, 陜西 三原 713800)

針對三點法三維運動學彈道仿真問題,建立了兩種仿真模型。第一種模型采用數值積分算法求解三點法運動學方程組,求解過程較為復雜;第二種模型利用三維空間相關幾何知識,將求解三點法三維運動學彈道的圖解法轉化為求解一元二次方程的問題,使求解過程簡單直觀。最后,對兩種模型進行了仿真,并將其應用到地空導彈制導控制系統的仿真研究中,將理想彈道與控制彈道進行了對比。結果表明,兩個模型均解決了一般情形下三點法三維運動學彈道求解的問題,為三點法三維制導律以及彈道特性研究提供了一種方法。

地空導彈; 三點法; 三維運動學彈道; 仿真

引言

三點法因實現較為簡單,一直是采用遙控制導體制的地空導彈常用的導引方法,繪制其三維運動學彈道不僅是研究該導引規律以及彈道特性的需要,而且在地空導彈全彈道仿真中,需要繪制理想運動學彈道來為仿真彈道提供參考,是進行制導控制系統仿真的一個環節。

針對三點法的運動學彈道,許多有關導彈飛行力學的文獻中都有描述,也有許多學者研究了三點法彈道的繪制方法,如文獻[1]給出了在鉛垂平面內三點法運動學方程組,并詳細描述了三點法運動學彈道的圖解法;文獻[2]對三點法原理進行了詳細的分析,并給出了鉛垂平面內采用三點法抗擊勻速直線運動目標情形下,運動學彈道的解析方法;文獻[3]也給出了垂直平面內目標勻速直線運動情形下的三點法運動學彈道的解析解。但是,即使在鉛垂平面內,當目標機動時,運動學彈道的求解就比較困難了,更不用說三維空間中目標機動的情形。所以,研究三點法三維空間攔截機動目標的運動學彈道是很有意義的。

本文從求解導彈三維運動學方程組入手,建立了兩種模型,第一種是適用于三維運動空間和目標機動情形的三點法運動學彈道仿真模型;第二種是參考三點法圖解原理,結合三維空間相關幾何知識,使彈道求解過程簡單、直觀。

1 參考坐標系

1.1 測量坐標系

研究地空導彈三點法導引規律,通常采用測量坐標系Oxjyjzj,該坐標系原點選在地面制導站上,Oxj軸在制導站和目標的連線上,指向目標為正;Oyj軸在通過Oxj軸的鉛垂平面內,垂直于Oxj軸向上為正;Ozj軸按右手定則確定。測量坐標系可由地面坐標系經由兩次旋轉得到,如圖1所示。圖中,ε為高低角,β為方位角。

圖1 測量坐標系和地面坐標系

測量坐標系相對地面坐標系的轉換矩陣為:

(1)

1.2 彈道坐標系

彈道坐標系Oxcyczc,該坐標系原點選在飛行器質心上,Oxc軸與飛行器速度矢量重合,向前為正;Oyc軸在通過Oxc軸的鉛垂平面內,垂直于Oxc軸向上為正;Ozc軸按右手定則確定。彈道坐標系可由地面坐標系經由兩次旋轉得到,如圖2所示。圖中,θ為彈道傾角,φc為彈道偏角。

圖2 彈道坐標系和地面坐標系

彈道坐標系相對地面坐標系的轉換矩陣為:

(2)

2 三點法導引規律運動學方程組的建立

所謂三點法導引規律是指:導彈在攻擊目標的飛行過程中,使導彈、目標和制導站始終在一條直線上。其導引原理如圖3所示。圖中,R,Rm代表導彈和目標的斜距。

圖3 三點法理想導引示意圖

根據運動學規律,在測量坐標系中,制導站與導彈之間的運動學關系為:

(3)

式中,Vxj,Vyj,Vzj分別為導彈運動速度在測量坐標系沿各坐標軸的分量。

下面分別求解式(3)所需的3個速度分量。首先,將導彈速度從彈道坐標系分解到地面坐標系,依據式(2),得:

(4)

式中,V為導彈速度;Vxd,Vyd,Vzd為導彈速度在地面坐標系各坐標軸的分量。

再利用式(1),得:

(5)

化簡式(4)、式(5)得:

(6)

這樣,由式(3)和式(6)可得導彈相對制導站的運動學方程為:

(7)

同理可求得:

(8)

式中,Vmxj,Vmyj,Vmzj分別為目標運動速度在測量坐標系沿各坐標軸的分量;Vm為導彈速度;θm,φcm分別為目標的彈道傾角和彈道偏角;βm,εm分別為目標的偏航角和高低角。

同式(7),可求得目標相對于制導站的運動規律為:

(9)

這樣,式(7)和式(9)就構成了求解三點法運動學彈道所需的6個方程。為求解該方程,要求的已知量包括目標運動參數(Vm,θm,φcm,εm,βm)和導彈速度V,另外,還需要三點法的導引方程:

(10)

這樣,方程組(7)、(9)、(10)共8個方程,8個未知數,方程組可以求解。

3 仿真模型

3.1 仿真模型1

仿真模型1采用四階龍格庫塔法求解由式(7)、式(9)和式(10)構成的運動方程組,由于導彈的彈道偏角和傾角不是顯式表達的,故需要轉化求解。

若是導彈始終按照三點法的導引方程飛行,則有:

(11)

這樣,就可以將式(7)和式(9)中的第二、第三個方程聯立:

(12)

(13)

考慮到

中沒有直接使用彈道傾角和彈道偏角的值,所以沒有必要求解θ和φc的具體值,只要將其正弦或余弦值作為一個整體求解即可。

將式(13)代入式(12)得:

(14)

為使方程簡潔,作以下換元:

(15)

由式(14)和式(15)可得:

(16)

(17)

化簡式(17),得:

x2-2mpx-(n2-n2q2-p2)=0

(18)

求解該式,x即為所得正根,將x代入式(16)第一個方程,可得y值,將x,y代入

(19)

采用仿真模型1進行仿真驗證的流程如下:

(1)給出目標運動規律(包括初始位置Rm0,εm0,βm0，彈道傾角及偏角變化規律，目標速度Vm);導彈初始位置R0,ε0,β0;導彈速度V;

(2)積分式(9),求解目標位置參數Rm,εm,βm;

(3)求解式(18),利用其結果積分式(19),得到導彈斜距R;

(4)根據導引規律,導彈高低角和方位角與目標一致,即ε=εm,β=βm;

3.2 仿真模型2

三點法導引彈道用圖解法更為直觀方便,但是圖解結果不便于轉化為坐標值,仿真模型2把圖解法轉化為一元二次方程。

參照圖3,設導彈初始位置為D(xd1,yd1,zd1),目標初始位置為M(xm1,ym1,zm1),經過時間Δt,目標飛行至M′(xm2,ym2,zm2),導彈在服從導引律的情況下,應該飛行至D′(xd2,yd2,zd2),假設在時間間隔較小的情況下,導彈速度保持勻速,該導彈新坐標即為所求值。

由導引規律知,導彈新坐標滿足以下條件:

由條件(1)和(2)可以列寫等價方程:

(20)

令

(21)

將式(21)代入式(20),得:

(22)

求解該方程,得k值。

依據式(20)求得導彈坐標:

(23)

若是有兩個k值,則分別求解導彈坐標,然后選擇導彈yd2滿足yd2≥yd1的k值,這是因為地空導彈一般是向上飛的。

采用仿真模型2進行仿真的步驟如下:

(1)給出導彈和目標初始位置D(xd1,yd1,zd1),M(xm1,ym1,zm1);導彈和目標速度V,Vm;仿真步長Δt;

(2)求解目標坐標M′(xm2,ym2,zm2);

(3)依據式(20)～ 式(23)求解導彈的坐標D′(xd2,yd2,zd2);

4 仿真算例

假設某地空導彈按照三點法攔截作等高圓弧形機動的目標。目標初始機動過載為5,速度為700 m/s,位置M(18 373,15 000,-18 373) m,開始機動時間為0 s。導彈初始速度為800 m/s,位置D(0,0,0) m。

采用Matlab語言對兩個模型進行了仿真,分別繪制了兩種模型在攔截同一機動目標時的理想彈道曲線,如圖4所示。

圖4 三點法三維運動學彈道

最后,將所設計的理想運動學彈道求解模型應用于全彈道仿真軟件中,作為理想彈道與控制彈道進行比較。在仿真中,導彈速度是由導彈動力學方程求解得到的控制速度,從而說明當導彈速度為變量時,兩個仿真模型依然適用。仿真結果如圖5所示。由圖5可知,實際彈道總是圍繞理想運動學彈道運動的[4-5],所以理想運動學彈道可以用來檢驗控制彈道的準確程度,從而檢驗導彈制導控制系統的精度。

圖5 控制彈道與理想彈道的比較

5 結束語

通過以上仿真分析以及模型最后的使用效果可知,文中建立的地空導彈三點法三維運動學彈道的兩種仿真模型都是有效的,模型精度都比較高,但在實際的仿真中,常采用數值積分的方法,可是在理解三點法的原理時,圖解法更容易讓人接受,所以兩種模型各有優劣。

當今,仍有很大一部分新型地空導彈武器采用了三點法這種實現簡單、精度較高的導引方法,本文為三點法三維導引規律以及三點法的應用研究提供了一種有力的工具。

[1] 雷虎民.導彈制導與控制原理[M].北京:國防工業出版社,2009:82-89.

[2] 周慧鐘,李忠應,王瑾.有翼導彈飛行動力學[M].北京:北京航空航天大學出版社,1987.

[3] 朱衛兵,張耀良.戰術導彈三點法遙控制導彈道方程的解析解[J].彈箭與制導學報,2006,26(1):245-247.

[4] 鄧方林,黃先祥.彈道導彈六自由度仿真決策系統設計與研制[J].系統仿真學報,2004,16(2):186-189.

[5] Curtis P Mracek,Ridgely D Brett.Optimal control solution for dual(tail and canard)controlled missiles[R].AIAA-2006-6569,2006.

Modelingandsimulatingonkinematictrajectoryofground-to-airmissilecontroledbythree-pointmethod

ZHANG Da-yuan, ZHAO Yu-qin, LEI Hu-min, WU Yi-ming

(Missile Institute, Air Force Engineering University, Sanyuan 713800, China)

Two new simulation models are established for the simulation of three-dimensional kinematic trajectory of ground-to-air missile controled by a three-point method. The first model is to solve the equation of the three-point method by integral method, which is complex; The second model translates the geometrical method into a unitary-quadratic equation, which is simple and intuitional. At last, the two models are simulated and applied in the research of the guidance and control sysytem for ground-to-air missile, the ideal trajectory is contrasted with the real one. The results show that both of the models can solve the problem of drawing three-dimensional kinematic trajectory of the three-point method, as a result, three-dimensional guidance-law of the three-point method and characters of the trajectory can be researched easily.

ground-to-air missile; three-point method; three-dimensional kinematic trajectory; simulation

2011-04-06;

2011-08-23

航空科學基金資助(20090196005；20100196002)

張大元(1987-),男,山東滕州人,碩士,主要從事導彈控制系統研究；

趙玉芹(1961-),男,山東汶上人,副教授,碩士生導師,主要從事防空導彈引信技術研究。

TJ762.13; TJ765

A

1002-0853(2012)01-0057-04

(編輯：姚妙慧)