基于數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

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(浙江師范大學(xué)2007級教育碩士 浙江金華 321004)

基于數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

●陳晴

(浙江師范大學(xué)2007級教育碩士 浙江金華 321004)

“數(shù)學(xué)是一門理性思維的科學(xué)”,它能啟迪、培養(yǎng)、發(fā)展人的思維，而且數(shù)學(xué)在思維培養(yǎng)的深度、廣度、系統(tǒng)性等方面是其他學(xué)科或其他培養(yǎng)方式所無法比擬的．人們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，由于學(xué)習(xí)者個體的差異，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維水平的差異性，而這種思維水平的差異性是以數(shù)學(xué)思維品質(zhì)為標志的．如果人們有意識地強化學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)思維，相應(yīng)地，作為數(shù)學(xué)思維水平標志的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)也會隨之發(fā)展．

新教材將許多數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)設(shè)計成“三步曲”模式(直觀圖形感知、自然文字描述、符號形式證明)，其實就是數(shù)形結(jié)合思想的滲透．數(shù)形結(jié)合思想在知識形成與問題解決中顯示出的直觀性、簡潔性，為培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)打下了基礎(chǔ)．通過數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，具體表現(xiàn)為以下幾個方面．

1 數(shù)學(xué)思維的廣闊性

數(shù)學(xué)對象是復(fù)雜的，它既不像一個球，因為從各個角度觀察都是不同的形狀，也不像一張紙只有一個平面而無層次．因此，數(shù)學(xué)思維需要有不同的角度和豐富的層次．

例1已知平面向量α，β(α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是____________．

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

由模長與夾角的已知條件，首先想到的就是利用數(shù)量積這一代數(shù)方法對其進行轉(zhuǎn)化，但是過程較繁，容易出錯.此時，如果增加視覺廣角，注意到向量是集數(shù)形于一體，它天生就具有代數(shù)與幾何的雙重屬性的特征，那么接下來用數(shù)形結(jié)合思想來解決這個問題的想法就呼之欲出了！

方法1構(gòu)造三角形

圖1 圖2

方法2構(gòu)造圓

事實上，正是數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用才將該題從抽象的向量問題轉(zhuǎn)化成為幾何問題，從而克服了代數(shù)方法求解該題的復(fù)雜，使抽象問題形象化、具體化、簡單化．這實在是一種直觀且又具有挑戰(zhàn)性的精妙之法！

2 數(shù)學(xué)思維的獨創(chuàng)性

思維的獨創(chuàng)性是人類思維的高級形態(tài)，它是指在新異的情境中，在一定目標的指引下，調(diào)動一切已知信息，獨特、新穎且有價值地解決問題所表現(xiàn)出來的智力品質(zhì)．

如圖3所示，在圓O中，AB是直徑，M是圓上任意一點，MC⊥AB交于點C，CA=a,CB=b．

圖3 圖4

正當學(xué)生沉浸在成功的喜悅中時，為了讓學(xué)生的獨創(chuàng)性思維得到培養(yǎng)，筆者又乘勝追擊,提出了更高的要求：“還能構(gòu)造出另外的圖形來說明這個不等式成立嗎？”經(jīng)過一段時間的思考，有部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)是Rt△AMB，因此可構(gòu)造如圖5所示的圖形，其中NC=a,NB=b．

圖5

由此得到基本不等式的幾何解釋：在同一圓中，半徑不小于半弦(直徑是最長的弦)，或者直角三角形斜邊的一半不小于斜邊的高．

幾何圖形的直觀解釋和證明，真正體現(xiàn)了代數(shù)和幾何的有機統(tǒng)一，可謂“無字的證明”．

3 數(shù)學(xué)思維的批判性

思維的批判性也叫思維的獨立性，就是善于發(fā)現(xiàn)問題、提出疑問、辨別是非、評價優(yōu)劣的一種思維品質(zhì)．批判性的思維是一種實事求是、周到、縝密的思維．培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，教師可以在課堂上利用反例，引起矛盾沖突，并在矛盾沖突中使學(xué)生所學(xué)知識逐步完善．

例2判斷方程lnx-x+1=0的實根個數(shù)．

高三學(xué)生對這類高考題型早已經(jīng)駕輕就熟，筆者在黑板上一寫出，就引來學(xué)生異口同聲地回答“作圖像”．因為學(xué)生明白，與方程根個數(shù)有關(guān)的問題往往可以用數(shù)形結(jié)合的方法來解決．筆者讓學(xué)生思考了一會兒后，故意在課堂上給出了一種有問題的分析：

圖6 圖7 圖8

將原方程化為lnx=x-1，令f(x)=lnx,g(x)=x-1,在同一直角坐標系中作出f(x)和g(x)的圖像，如圖6所示．因為圖像有2個交點，因此判斷原方程有2個實根．

短暫的沉寂，一個學(xué)生發(fā)表不同看法：“老師，我畫的圖像也是2個交點，但是我的圖像與你畫的不一樣.”該學(xué)生畫的圖像如圖7所示．

筆者順勢引發(fā)學(xué)生思考：“易見這個方程其中一個根是1，那另一個根是比1大還是比1小呢？”

不料又一個學(xué)生提出了新的看法：“我感覺沒有其他根了，我用計算器試了好多次呢！”這是一個基礎(chǔ)比較差的學(xué)生，他用計算器求根的行為引發(fā)了其他學(xué)生的笑聲，但笑過之后更多學(xué)生進入了探究這3種想法孰真孰偽的思考中……

分析其實數(shù)形結(jié)合的思想分2個方面：以形助數(shù)和以數(shù)解形,兩者是并不是孤立的.“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”華羅庚先生的這句話就是對數(shù)與形不可分割關(guān)系的精辟概括．因此當單純從“形”的角度去分析探求很難精確描述時，就必須要利用“數(shù)”的精確性才能得到精確的結(jié)論．

(學(xué)生一片嘩然，感覺結(jié)果實在太意外了！)

至此，問題完美解決.通過這樣的故意出錯，巧用反例，給學(xué)生留下了難以忘懷的印象，余音裊裊，繞梁數(shù)日，經(jīng)久不息．

4 數(shù)學(xué)思維的靈活性

思維的靈活性是指依據(jù)客觀條件的變化及時調(diào)整思維的方向．思維的靈活性表現(xiàn)在不受思維模式和固定模式的束縛，善于發(fā)現(xiàn)新的條件和新的因素，在思維受阻時能及時改變原思考路線，修改原定方案，從而找到新的方案與新的途徑．

例3實數(shù)m滿足|m|<2,求使x2+mx+1>2x+m恒成立的x的取值范圍．

分析該題主元是x，參數(shù)是m，按照慣例將不等式變形為(x-1)2>m(x-1)，再設(shè)y1=(x-1)2，y2=m(x-1),構(gòu)造曲線與直線相關(guān)問題求參數(shù)．這種數(shù)形結(jié)合方式的運算勢必引發(fā)討論，導(dǎo)致過程繁瑣還容易出錯.這時，如果能善于變通，調(diào)整主元，變換思維角度，視m為主元，那么問題即變?yōu)榍髕的取值范圍，使原不等式在m∈(-2,2)上恒成立.原問題轉(zhuǎn)化為一條直線(圖略)，非常簡潔．曲線轉(zhuǎn)化為直線，高次轉(zhuǎn)化為低次，數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想在這里體現(xiàn)得淋漓盡致．

解要使當-20恒成立，只須滿足

解得x≤-1或x≥3.

數(shù)形結(jié)合不僅是高中新教材編排的一個重要特點，更是高中學(xué)生解決問題常用的方法之一，同時又是一種重要的數(shù)學(xué)思想．在教學(xué)過程中，教師應(yīng)做有心人，充分利用“一圖抵百語”的優(yōu)勢，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，從而激發(fā)和培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)．