例談課本知識與高考試題的對接

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(湖州市第五高級中學 浙江湖州 313000)

例談課本知識與高考試題的對接

●計惠方

(湖州市第五高級中學 浙江湖州 313000)

2010年和2011年的浙江省數學高考文理試卷均將圓作為主角與其他曲線組合入題，形成了一道亮麗的風景.試題不僅形式優美，而且解法多樣,是值得研究的好題.下面通過課本知識拓廣的實際例子來說明，課本知識與高考試題的對接，希望對高三的針對性復習有一定的啟示和幫助.

1 課本習題與高考試題的對接

1.1 圓的直徑端點式方程

題目已知圓上一條直徑的端點分別是A(x1,y1),B(x2,y2).求證：此圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

(人教版高中數學必修2第124頁第5題)

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

1.2 拓廣

當點M位置變化時，記以AB為直徑的圓為圓N，點M與圓N的關系為:

(1)點M在圓N外當且僅當

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)>0；

(2)點M在圓N內當且僅當

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)<0.

1.3 應用

(1)當直線l過右焦點F2時，求直線l的方程.

(2)設直線l與橢圓C交于點A，B，△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G，H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數m的取值范圍.

(2010年浙江省數學高考理科試題)

解(1)略.

(2)設A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯立直線與橢圓方程

由韋達定理知

m2<8.

因為點O在以GH為直徑的圓內，所以

解得

m2<4,

從而

m∈(1,2).

小結該題的標準答案有點繁瑣，其實條件可減弱為“點G，H分別在射線OA，OB或射線OA，OB的反向延長線上運動(不到達點O)”，結論“原點O在以線段GH為直徑的圓內”成立.因此，通過對課本習題的拓廣，該問題獲得了巧妙的解決方案.

(1)若m=2，求拋物線C的方程；

(2)設直線l與拋物線交于點A，B，過點A，B分別作拋物線C的準線的垂線，垂足為點A1,B1，△AA1F,△BB1F的垂心分別為G，H，求證：對任意非零實數m，拋物線的準線與x軸的交點在以線段GH為直徑的圓外.

(2010年浙江省數學高考文科試題)

p=m2=4,

從而

y2=8x.

圖1

(2)如圖1所示，設A(x1,y1)，B(x2,y2),聯立直線與拋物線方程

消去x得

y2-2m3y-m4=0.

由韋達定理知

y1+y2=2m3,y1y2=-m4.

因為m≠0，所以

Δ=4m6+4m4>0.

又因為

x1+x2=m(y1+y2)+m2=2m4+m2,

根據拓廣的結論知，當m≠0時，點N在以線段GH為直徑的圓外.

2 課本概念與高考試題的對接

2.1 直線的兩點式方程

2.2 拓廣

(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1).

(1)

值得一提的是方程(1)表示經過2個點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的所有直線(包括x=x1和y=y1).

2.3 應用

例3如圖2所示，已知拋物線C1:x2=y，圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點M.

(1)求點M到拋物線C1的準線的距離.

(2)已知點P是拋物線C1上的一點(異于原點)，過點P作圓C2的2條切線交拋物線C1于點A,B.若過點M，P的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

(2011年浙江省數學高考理科試題)

圖2

解(1)略.

(m+x0)x-y-mx0=0.

由直線PA與圓M相切知

即

同理可得

從而

由MP⊥AB知

解得

例4如圖3所示，設P是拋物線C1:x2=y上的動點，過點P作圓C2:x2+(y+3)2=1的2條切線，交直線l:y=-3于點A，B.

(1)求圓C2的圓心M到拋物線C1的準線的距離.

(2)是否存在點P，使線段AB被拋物線C1在點P處的切線平分？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

(2011年浙江省數學高考文科試題)

圖3

解與例3的解答類似.

(1)略.

由直線PA與圓M相切知

即

設AB的中點為D，則D的坐標為

從而

小結例3與例4這2道高考題，標準答案均較繁瑣，通過式(1)設直線方程，使解法更簡捷，避免了繁冗的討論.

[1] 計惠方，徐方英.一道浙江高考題的深度解析及紕漏[J].中學數學，2010(5)：56-57.