選用合適的方法，求拋物線的方程

拋物線的方程主要有三種表示形式：（1）頂點式；（2）兩點式；（3）一般式.在求拋物線的方程時，往往需結合所給的條件，選擇合適的方法進行求解.接下來，通過幾個例題，介紹一下拋物線方程的幾種求法.

一、設頂點式方程

拋物線頂點式方程為[y=a（x-h）2+k]，它的取值決定著拋物線的開口方向，當agt;0時，拋物線的開口向上；當alt;0時，拋物線的開口向下，其中h和k分別是拋物線頂點的橫坐標和縱坐標.若已知拋物線的頂點坐標，以及拋物線上另外一個點的坐標，則可根據頂點的坐標設出拋物線的頂點式方程，再把另一個點的坐標代入方程求出a，即可得到拋物線的方程.

例1.求頂點為（-2，3），且過點（0，-1）的拋物線的方程.

解：設拋物線的方程為[y=a（x-h）2+k]，

因為拋物線的頂點為（-2，3），

則h=-2和k=3.

所以拋物線的方程為[y=a（x+2）2+3]

將點（0，-1）代入上述方程中，得[-1=4a+3]，

解得[a=-1]，

因此拋物線的方程為[y=-（x+2）2+3.]

由于已知拋物線的頂點坐標和另外一個點的坐標，所以直接設出拋物線的頂點式方程，將頂點坐標和另外一點的坐標代入方程，解方程求得a、h、k，即可求得拋物線的方程.

二、設兩點式方程

拋物線的兩點式方程為[y=a（x-m）（x-n）].令[y=0]，可得[a（x-m）（x-n）=0]，解得[x1=m]，[x2=n]，則點（m，0）、（n，0）在拋物線上，且是拋物線與x軸的交點.因此若已知拋物線與x軸的交點的坐標，以及拋物線上另一個點的坐標，即可根據交點的坐標設出拋物線的兩點式方程，再把另一個點的坐標代入該方程，求出a，就能得到拋物線的方程.

例2.已知拋物線與x軸的兩個交點坐標分別為（-3，0）和（1，0），且拋物線過點（-1，-4），求拋物線的方程.

解：設拋物線的方程為[y=a（x-m）（x-n）]，

因為（-3，0）和（1，0）為拋物線與[x]軸的交點，

所以拋物線的方程為[y=a（x+3）（x-1）]，

將點（-1，-4）代入上述方程，

得[-4=a（-1+3）（-1-1）]，

解得[a=1]，

所以拋物線方程為[y=（x+3）（x-1）]，

即[y=x2+2x-3.]

我們根據題中拋物線與x軸的兩個交點坐標，設出拋物線的兩點式方程，然后將交點、另一個點的坐標代入方程，得到a的值，即可得到拋物線的方程.

三、設一般式方程

拋物線的一般式方程為[y=ax2+bx+c]，其中a表示拋物線的開口方向，令[x=0]，可得[y=c]，即（0，c）為拋物線與y軸的交點.若已知拋物線上任意三個點的坐標，則需先設出拋物線的一般式方程；再把這三個點的坐標代入一般式方程中，建立關于a、b、c的三元一次方程；通過解方程組，求出a、b、c，進而得到拋物線的方程.

例3.已知拋物線上的三個點的坐標分別A（-1，4），B（0，1），C（1，4），求拋物線的方程.

解：設拋物線的方程為[y=ax2+bx+c]，

因為A（-1，4），B（0，1），C（1，4）在拋物線上，

所以這三個點的坐標滿足拋物線的方程，

則[a（-1）2+b（-1）+c=4]；

[a×0+b×0+c=1]；

[a×1+b×1+c=4]，

解方程組得[a=3]，[b=0]，[c=1].

則拋物線的方程為[y=3x2+1].

先設出拋物線的一般式方程；再將三個點的坐標代入到一般式方程中，得到三元一次方程組，即可通過解方程組求出參數a、b、c，得到拋物線方程.

可見，求拋物線的方程，關鍵是判斷已知點是否為頂點、與x軸的交點，根據已知點的坐標，選擇與之相應的拋物線方程形式進行求解.一般來說，拋物線的一般式方程的適用范圍較廣，若無法判斷出點的位置，則通常用拋物線的一般式方程求解.