拋物線
- 從一道模擬題談拋物線與其根軸圓的位置關(guān)系
題呈現(xiàn)如圖1，拋物線y2=8x與動圓M：（x－8）2+y2=r2（r>0）交于A，B，C，D四個不同點.（1）求r的取值范圍；（2）略.這是2021年廣東省江門市一模試題題21，本題的答案是432.探究一般性結(jié)論對于一般的拋物線C：y2=2px（p>0），動圓M：（x－a）2+y2=r2（r>0），有什么類似的結(jié)論？設P（x，y）（x≥0）為拋物線C：y2=2px（p>0）上任意一點，它與圓心M（a，0）的距離PM=（x－a）2+y2=（x－a）2+2px
中學數(shù)學研究 2023年10期2023-10-09
- 從一道模擬題談拋物線與其根軸圓的位置關(guān)系
題呈現(xiàn)如圖1,拋物線y2=8x與動圓M:(x-8)2+y2=r2(r>0)交于A,B,C,D四個不同點.(1)求r的取值范圍;(2)略.2.探究一般性結(jié)論對于一般的拋物線C:y2=2px(p>0),動圓M:(x-a)2+y2=r2(r>0),有什么類似的結(jié)論?若a-p≤0,即a≤p,則當x=0時,|PM|取最小值|a|.這時若r=|a|,則拋物線C圓與圓M相切于頂點,且這兩曲線有且僅有這一個公共點;命題1 拋物線C:y2=2px(p>0)與動圓M:(x-a
中學數(shù)學研究(江西) 2023年10期2023-09-28
- 有關(guān)拋物線焦半徑與焦點弦公式的推導及其應用
焦鵬鵬若過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，則以這兩個點為端點的線段稱為拋物線的焦點弦，如圖1中的線段[AB].以拋物線上的一點及拋物線的焦點為端點的線段稱為拋物線的焦半徑，如圖1中的線段[AF、BF.]求焦點弦長和焦半徑問題在拋物線試題中比較常見.本文主要談一談有關(guān)拋物線焦半徑與焦點弦公式的推導及其應用.
語數(shù)外學習·高中版下旬 2023年5期2023-08-13
- 依托不動點新定義 探究函數(shù)值不變性
點(t,t)為拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上的不動點.設拋物線C的解析式為y=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).(2)對于任意實數(shù)b,實數(shù)a應在什么范圍內(nèi),才能使拋物線C上總有兩個不同的不動點?解(1)由題意,得∴拋物線C的解析式為y=x2-x-3.令x=x2-x-3,解得x1=-1,x2=3.∴不動點為(-1,-1)和(3,3).(2)若拋物線C有兩個不同的不動點,則由x=ax2+(b+1)x+(b-1),整理得ax2+bx+(b-1)
初中數(shù)學教與學 2022年19期2022-11-28
- 如何用代數(shù)法判斷直線與拋物線的位置關(guān)系
遇到判斷直線與拋物線位置關(guān)系的問題.此類問題側(cè)重于考查直線的方程、弦長公式、點到直線的距離公式、拋物線的方程、一元二次方程的根的判別式、韋達定理等.判斷直線與拋物線的位置關(guān)系，主要有代數(shù)法和幾何法兩種方法.本文主要探討一下如何用代數(shù)法判斷直線與拋物線的位置關(guān)系.一、直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離. 如下圖所示.其中相交的有兩種情況，即相交于一點（當直線與拋物線的對稱軸平行或重合時）、相交于兩點.二、用代數(shù)法判斷直線與拋物
語數(shù)外學習·高中版下旬 2022年5期2022-07-13
- 拋物線中雙定點性質(zhì)的探究*
00) 喻瑞明拋物線性質(zhì)的教學是高中數(shù)學教學實踐中不可缺少的一部分，有關(guān)拋物線性質(zhì)的考題也是層出不窮.我們知道，拋物線中蘊含了許多優(yōu)美的結(jié)論，本文從2018年全國Ⅰ卷文科第20題考查拋物線的性質(zhì)出發(fā)，利用幾何畫板探究了拋物線中雙定點的一些性質(zhì)，供同仁參考.文[1]中已探究了拋物線的性質(zhì)，并得到如下結(jié)論：結(jié)論1 如圖1，已知拋物線y2=2px(p>0)，點B(-m,0)(m>0)，設斜率存在的直線l與拋物線相交于M,N兩點，則直線l過定點A(m,0)的充要條
中學數(shù)學研究(江西) 2022年4期2022-04-11
- 拋物線高考滿分突破訓練（B卷）
、選擇題1.若拋物線y=ax2的焦點坐標為（0，2），則a的值為（）。A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓在拋物線上，若|PF|=3，則點P到x軸的距離為（）。A.2B.2C.D.15.已知拋物線過點（-11，13），則拋物線的標準方程是（）。6.設F為拋物線C：x2=16y的焦點，直線1：y=-1，點A為拋物線C上任意一點，過點A作AP⊥L，則|AP-AF||=（）。A.3B.4C.2D.不能確定7.已知直線L1：x-y+4=0和直線12：x=-2，拋物線
中學生數(shù)理化·高二版 2022年1期2022-04-05
- 從圖像獲取信息 用性質(zhì)推理判斷
次函數(shù)的圖像是拋物線，在考查二次函數(shù)知識時，常常會出現(xiàn)一類由二次函數(shù)圖像即拋物線提供信息，利用二次函數(shù)性質(zhì)作推理判斷的題目。解決這類問題，我們必須熟悉二次函數(shù)表達式中的字母系數(shù)與拋物線之間的關(guān)系，學會看二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，具備從函數(shù)圖像中獲取信息的能力。看拋物線與y軸的位置：由x=0時y=c，可知拋物線與y軸交于（0，c）。當拋物線與y軸的交點在x軸上方時，c＞0；當拋物線與y軸的交點在x軸下方時，c＜0；當拋物線經(jīng)過原點時，c=0。看拋物
初中生世界 2021年47期2021-12-29
- 尖子生拋物線及其幾何性質(zhì)拔高訓練
選擇題1.已知拋物線C：x=8y2，則該拋物線的焦點到準線的距離為( )。2.直線l過拋物線y2=2x的焦點F，且直線l與該拋物線交于不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1+x2=3，則弦AB的長是( )。A.4 B.5 C.6 D.83.已知拋物線y2=2px(p＞0)，過拋物線的焦點作x軸的垂線，與拋物線交于A，B兩點，點M的坐標為(-2，0)，且△ABM為直角三角形，則以直線AB為準線的拋物線的標準方程為( )。A.y2=8xB.y2=
中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學) 2021年1期2021-02-07
- 從圖像獲取信息 用性質(zhì)推理判斷
次函數(shù)的圖像是拋物線，在考查二次函數(shù)知識時，常常會出現(xiàn)一類由二次函數(shù)圖像即拋物線提供信息，利用二次函數(shù)性質(zhì)作推理判斷的題目。解決這類問題，我們必須熟悉二次函數(shù)表達式中的字母系數(shù)與拋物線之間的關(guān)系，學會看二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，具備從函數(shù)圖像中獲取信息的能力。看拋物線的開口方向和大小：拋物線開口向上，a>0;拋物線開口向下，a<0;拋物線開口越小，[a]越大;拋物線開口越大，[a]越小。看拋物線對稱軸所在位置：系數(shù)a與系數(shù)b一起決定拋物線對稱軸x
初中生世界·九年級 2021年12期2021-01-21
- “中考命題預測”參考答案
4.如圖11，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，-2），點A的坐標是（2，0）.P為拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D.交直線BC于點E.拋物線的對稱軸是直線x=-1.（1）求拋物線的解析式.（2）若點P在第二象限內(nèi)，且PE=1/4OD，M為直線BC上一點，在x軸的上方，是否存在點M，使△BDM是以BD為腰的等腰三角形？若存在，求出點M的坐標;若不存在，請說明理由.
中學生數(shù)理化·中考版 2020年3期2020-10-28
- 全國名校拋物線測試卷
一、選擇題1.拋物線y=4x2的焦點坐標是( )。2.已知拋物線的準線方程為x=-7,則拋物線的標準方程為( )。A.x2=-28yB.y2=28xC.y2=-28xD.x2=28y3.已知拋物線的方程為標準方程,焦點在x軸上,其上一點P(-3,m)到焦點F的距離為5,則拋物線方程為( )。A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x4.過點F(0,3)且和直線y+3=0相切的動圓圓心的軌跡方程為( )。A.y2=12xB.y2=-12xC
中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學) 2019年11期2019-11-29
- 二次函數(shù)圖像的平移與對稱變換問題例析
)。例1(1)拋物線y=2(x+2)2-4向右平移3個單位長度,向上平移1個單位長度得到的拋物線的解析式是_____。(2)拋物線y=x2-4x向左平移4個單位長度,向上平移5個單位長度得到的拋物線的函數(shù)表達式是_____。(3)拋物線y=x2-4x關(guān)于x軸對稱的拋物線的函數(shù)表達式是____,關(guān)于y軸對稱的拋物線的函數(shù)表達式是_____,關(guān)于原點對稱的拋物線的函數(shù)表達式是_____。分析：拋物線y=ax2+bx+c中,a的絕對值決定拋物線的形狀,a的正負決
中學生數(shù)理化(高中版.高考理化) 2019年9期2019-11-27
- 全國名校拋物線技高卷（B卷）
一、選擇題1.拋物線y=-x2的準線方程是（）。A.B.C.D.2.拋物線上的動點Q到其焦點的距離的最小值為1，則p=（）。A.B.C.D.3.如圖1，在同一平面內(nèi)，A、B為兩個不同的定點，圓A和圓B的半徑都為r，射線AB交圓A于點P，過P作圓A的切線l，當變化時，切線l與圓B的公共點的軌跡是（）。A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線4.已知m，n∈R，則“mnA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5.已知拋物線y
中學生數(shù)理化·高二版 2019年1期2019-07-01
- 全國名校拋物線拔高卷（B 卷）
一、選擇題2.拋物線y2=2p x(p＞0)上的動點Q到其焦點的距離的最小值為1,則p=( )。3.如圖1,在同一平面內(nèi),A、B為兩個不同的定點,圓A和圓B的半徑都為r,射線A B交圓A于點P,過P作圓A的切線l,當變化時,切線l與圓B的公共點的軌跡是( )。圖1A.圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線4.已知m,n∈R,則“m n＜0”是“拋物線m x2+n y=0的焦點在y軸正半軸上”的( )。A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D
中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學) 2019年1期2019-02-28
- 由二次函數(shù)拋物線引發(fā)的思考
段曉曉一、拋物線天下一家解析幾何中，方程y2=2px的圖形稱拋物線；函數(shù)中，二次函數(shù)y=ax2的圖象也稱拋物線.于是發(fā)問：這兩種拋物線是一家人嗎？【例1】二次函數(shù)y=14x2+1的圖象如下：試探索，平面上是否存在這樣的定直線l和定點F，使得圖象上任何一點P（x，y），到F的距離與到l的距離相等？【解答】（配方法）由等式y(tǒng)=14x2+1兩邊乘以4并移項：x2-4y+4=0，兩邊同時加上y2，得x2+（y-2）2=y2，兩邊開平方，同取算術(shù)根，得14x2=
中學課程輔導·教師通訊 2018年2期2018-03-26
- 全國名校拋物線測試培優(yōu)卷（B卷）
、選擇題2.若拋物線y2=2p x(p＞0)上一點P(2,y0)到其準線的距離為4,則該拋物線的標準方程為( )。A.y2=4x B.y2=6xC.y2=8x D.y2=1 0x3.過點(0,1)且與拋物線y2=4x只有一個公共點的直線有( )。A.1條 B.2條 C.3條 D.0條4.已知P為拋物線y2=4x上的一個動點,直線l1:x=-1,l2:x+y+3=0,則點P到直線l1,l2的距離之和的最小值為( )。5.拋物線y2=4x的焦點為F,點P為拋物
中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學) 2018年1期2018-02-26
- 拋物線一組結(jié)論的證明與應用
五中學 徐洪軍拋物線一組結(jié)論的證明與應用■浙江省江山市第五中學 徐洪軍拋物線有很多優(yōu)美的結(jié)論,在平時的學習中,同學們要能夠靈活應用。下面,筆者通過拋物線一組結(jié)論的證明與應用來進一步揭示拋物線的本質(zhì)。結(jié)論1 已知直線l經(jīng)過拋物線C:y2= 2px(p〉0)的焦點F,直線l與拋物線C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則y1·y2=應用1 已知直線l經(jīng)過拋物線C:y2= 8x的焦點F,直線l與拋物線C交于A(x1, y1),B(x2,y2)兩點,則:(
中學生數(shù)理化(高中版.高考數(shù)學) 2017年4期2017-07-05
- 玩轉(zhuǎn)拋物線
梅磊拋物線是歷年高考的重點，在近幾年高考試題中，常考查拋物線的定義、標準方程和幾何性質(zhì)。由于拋物線的離心率為1，拋物線的標準方程中只有一個二次項，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準線，所以相對于橢圓和雙曲線而言，高考中有關(guān)拋物線的試題相對簡單一點。下面以2016年高考數(shù)學全國卷中的幾道拋物線試題為例，帶同學們玩轉(zhuǎn)拋物線。endprint
中學生數(shù)理化·高二版 2017年1期2017-04-18
- 拋物線中的一個定點問題的充要條件
00) 李偉健拋物線中的一個定點問題的充要條件安徽省滁州中學(239000) 李偉健命題已知拋物線y2=4x及點P(2,2),斜率為1的直線l不過點P,且與拋物線交于A和B,直線AP、BP分別交拋物線與另一點C和D.證明AD、BC交于一定點Q.本文對這一命題一般化研究,獲得了這一定點問題的充要條件.定理已知拋物線y2= 2px(p＞0)及點P(x′,y′),P不在拋物線上,斜率為k的直線l不過點P(x′,y′),且與拋物線交于A和B,直線AP、BP分別交拋
中學數(shù)學研究(廣東) 2017年1期2017-03-29
- 拋物線的變換
□劉頓拋物線的變換□劉頓二次函數(shù)是中考重要而常見的考點，且大多出現(xiàn)在綜合題和壓軸題中，其中有關(guān)拋物線的變換更是頻頻亮相，現(xiàn)歸類說明，供參考！一、拋物線的旋轉(zhuǎn)例1（2016·菏澤）如圖1，一段拋物線：y=-x（x-2）（0≤x≤2）記為C1，它與x軸交于兩點O、A1；將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3，交x軸于A3；……如此進行下去，直至得到C6.若點P（11，m）在第6段拋物線C6上，則m=________.圖
初中生天地 2016年27期2016-10-26
- 拋物線內(nèi)切伴隨圓族的方程及性質(zhì)
獻［1］探討了拋物線的一類伴隨圓——內(nèi)切圓族的方程和性質(zhì).在此基礎上，筆者對拋物線y2=2px(p＞0)的內(nèi)切伴隨圓族的方程與性質(zhì)進行了進一步的探討，得到了一些結(jié)論.1 相關(guān)定義1.1 內(nèi)切圓在拋物線的內(nèi)部，與拋物線有且只有一個交點的圓，叫做拋物線的內(nèi)切圓(圖1).1.2 內(nèi)切圓族與拋物線內(nèi)切，且具有共性的一族圓稱為拋物線的內(nèi)切圓族(圖1).2 相切于一點的內(nèi)切圓族圖1 內(nèi)切圓與內(nèi)切圓族圖2 引理1內(nèi)切圓族引理1［1］設拋物線C的方程為y2=2px(p＞0
長春師范大學學報 2015年8期2015-12-29
- 例說拋物線的對稱性 助解中考壓軸題
a≠0）的圖像拋物線是一個軸對稱圖形，當我們面對拋物線的問題時如果能用好用足拋物線的對稱性，則能化繁為簡，迅速求解. 本文以杭州、泰州、北京的三道中考壓軸題為例，層層遞進，分析研究借助拋物線的對稱性解題的好處.綜上所述：當點C的坐標為（0，8）時，要使y1隨著x的增大而減小，則x>2；當點C的坐標為（0，-8）時，要使y1隨著x的增大而減小，則x<-2.【點評】二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是軸對稱圖形，當a>0時，在對稱軸的左側(cè)，y隨著x的
初中生世界·九年級 2015年2期2015-09-10
- 確定拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）開口方向的另類方法
方法事實1 若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點，則（1）A、B、C三點不在同一直線上；（2）直線AB、AC、BC均不與x軸垂直.事實2 平面直角坐標系中，A、B、C三點不在同一直線上，且直線AB、AC、BC均不與x軸垂直，則存在著唯一一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），其圖象過A、B、C三點.事實3 如圖1，平面直角坐標系中，A、B兩點是等高點（即兩點的縱坐標相等），拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過A、B兩點.若拋物線開口
中學數(shù)學雜志(初中版) 2015年1期2015-09-06
- 巧解高考題中拋物線的焦點弦問題
曾利萍拋物線的焦點弦問題是解析幾何中的一個重要問題，同時也是高考中關(guān)于拋物線問題的高頻考點.解決這類問題，如果能夠熟練運用本文中討論的4條性質(zhì)，就可以將很多復雜問題簡單化.如圖，AB是拋物線y2=2px（p>0）過焦點F（ p 2 ，0）的一條弦.設A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點M（x0，y0），過A，M，B分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為A1，M1，B1.一、拋物線焦點弦的4條性質(zhì)性質(zhì)1 過焦點的弦長 |AB|=x1+x2+p
數(shù)學學習與研究 2014年15期2014-04-29
- 直線與拋物線位置關(guān)系的另類判別方法
給出有關(guān)直線與拋物線位置關(guān)系的另類判別方法.結(jié)論1 直線l：Ax＋By＋C＝0（ABC≠0）拋物線y2＝2px（p≠0）Ay2＋2pBy＋2pC＝0，△ ＝（2pB）2－4A·2pC＝4p（pB2－2AC），結(jié)論2 直線l：Ax＋By＋C＝0（ABC≠0），拋物線x2＝2py（p≠0），探究結(jié)論1和結(jié)論2 推廣至一般情況，可得下面結(jié)論：結(jié)論3 直線l：Ax＋By＋C＝0（ABC≠0），（2）直線l與拋物線相交 ?（y1＋y2）（y1－y2）＞－p2；（3）
中學數(shù)學教學 2013年3期2013-09-17
- 圖像的平移規(guī)律 在拋物線中的應用
兩種：一是已知拋物線的解析式和平移的單位與方向，求平移的后的解析式；二是已知拋物線與經(jīng)過平移后得到的拋物線解析式，要求說明平移的單位和方向. 求解此類問題的關(guān)鍵是，能夠分別從函數(shù)的解析式與平移的單位和方向入手，從中找到一般規(guī)律，即圖像的平移實質(zhì)上就是頂點的平移. 為了使同學們熟練掌握求解此類問題的能力，下面舉例分析.例1 把拋物線y = - 2x2向上平移1個單位，得到的拋物線是（ ）A. y =- 2（x+1）2 B.y=-2（x–1）2 C.y =-2
學生之友·最作文 2013年7期2013-04-29
- 如何上好“拋物線及其標準方程”
能：（1）了解拋物線的生成，理解拋物線的定義及參數(shù)的意義.（2）掌握拋物線的標準方程，并會根據(jù)條件求出拋物線標準方程.2.過程與方法：（1）通過對拋物線生成的探究及定義的概括，培養(yǎng)學生分析和概括的能力.（2）通過對拋物線標準方程的探究，進一步滲透坐標法，提高學生建立坐標系的能力.
數(shù)學學習與研究 2012年17期2012-04-29
- 例析二次函數(shù)的圖象變換
置的改變.對于拋物線的幾種變換，可以歸結(jié)為:一看頂點位置，二看開口方向.下面例舉拋物線的平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)問題的求解策略.1 拋物線的平移一般地，拋物線的平移有以下規(guī)律:例1 已知拋物線y=x2+2x－3，如何平移此拋物線使其圖象與拋物線y=x2－4x+7的圖象完全重合.可知，將拋物線y=x2+2x－3向右平移3個單位，再向上平移7個單位，與拋物線y=x2－4x+7的圖象完全重合.例2 已知y=2x2的圖象是拋物線，若拋物線不動，把x軸，y軸分別向上、向右
中學數(shù)學雜志 2011年12期2011-02-01
- 平面上的兩點與二次函數(shù)圖像之間有意義的探究
上任意2個點的拋物線是否也有無數(shù)個?即便能夠明確經(jīng)過2個點的拋物線有無數(shù)個，那能否按照某種需求來選擇或明確經(jīng)過已知2個點的拋物線呢?順延這條思路，深挖下去，會顯出豐實的寶藏.探究1 經(jīng)過平面上任意2個點的拋物線是否有無數(shù)條?在平面直角坐標系Oxy中，若有一條曲線y=ax2+bx+c經(jīng)過任意給定的2個點 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由c為參量，得c可以取到無數(shù)個不同的值使得a≠0，可知過點A，B的拋物線有無數(shù)條;(2)當x1x2(x1-x2)=0時
中學教研(數(shù)學) 2010年10期2010-08-27