確定拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）開口方向的另類方法

丁丁 蔡歷亮

1 另類方法

事實1 若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點，則

（1）A、B、C三點不在同一直線上；

（2）直線AB、AC、BC均不與x軸垂直.

事實2 平面直角坐標系中，A、B、C三點不在同一直線上，且直線AB、AC、BC均不與x軸垂直，則存在著唯一一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），其圖象過A、B、C三點.

事實3 如圖1，平面直角坐標系中，A、B兩點是等高點（即兩點的縱坐標相等），拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過A、B兩點.若拋物線開口向上，則拋物線經過圖中的①區、⑤區、③區，不經過圖中的④區、②區、⑥區；若拋物線開口向下，則拋物線經過圖中的④區、②區、⑥區，不經過圖中的①區、⑤區、③區.（本文中出現的①～⑥區均不包含其邊界）

由上述事實，我們可獲得確定拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）開口方向的一個另類方法.

圖1方法1 如圖1，在平面直角坐標系中，A、B兩點是等高點，若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點.若C點在圖中的①區或⑤區或③區，則拋物線開口向上；若C點在圖中的④區或②區或⑥區，則拋物線開口向下.

2 典型例題

例1 已知拋物線y=ax2+bx經過點A（-3，-3）和點P（t，0），且t≠0，若拋物線開口向下，則t的取值范圍是 .

析解 如圖2，O點是原點，因P（t，0），所以P點、O點是等高點.

當t<-3時（如圖3），A在“P—O”的⑤區，拋物線開口向上；

當t=-3時（如圖4），直線PA⊥x軸，無此拋物線；

當-3

當t>0時（如圖6），A在“P—O”的④區，拋物線開口向下.

所以t的取值范圍是t>-3且t≠0.

圖2 圖3 圖4

圖5 圖6例2 如圖7，平面直角坐標系中，O是原點，A、B的坐標分別為（-1，0）、（2，0），以O為圓心，OB為半徑的圓與y軸交于C、D兩點，與x軸交于E點.點P從C點出發，以每秒1個單位長度的速度在⊙O上逆時針運動.設P的運動時間為t（0≤t<3π），問：當t為何值時，過A、B、P三點的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）開口向上.

圖7 圖8析解 如圖8，過點A作x軸的垂線交⊙O于F、G，連接OF、OG.

CE=90·π·2180=π，CEB=270·π·2180=3π.

在Rt△OAF中，∠FAO=90°，

OA=1，OF=OB=2，OA=12OF，所以∠OFA=30°，∠FOA=60°，所以∠COF=90°-∠FOA=90°-60°=30°，所以CF=30·π·2180=13π.同理得DG=13π，所以CG=CFD-DG=180·π·2180-13π=53π.

①當0≤t<13π時，點P在CF（不含F點）中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）開口向下.

②當t=13π時，點P與點F重合，PA⊥x軸，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）不存在.

③當13π

④當t=π時，點P與點E重合，P、A、B三點在同一直線上，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）不存在.

⑤當π

⑥當t=53π時，點P與點G重合，PA⊥x軸，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）不存在.

⑦當53π

綜上所述，當13π

3 方法拓展

若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）所經過的三個點不一定有等高點，則拋物線的開口方向又該如何確定？此時，我們可使用方法2.

方法2 拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三點，且x1

說明：（1）根據y1與y2的大小關系，可分為三種情況①y1y2，③y1=y2，分別對應著圖9、圖10、圖11.

本文所述的“判別二次函數圖象開口方向”的另類方法或許不是最簡捷的，但換個角度思考，為我們的思維打開了一扇窗，這正是創新思維所需要的.