數學慢教育設計的“起”“承”“轉”“合”

“起、承、轉、合”是詩詞創作的章法藝術.“起”是開頭；“承”是過程；“轉”是變化；“合”是收尾.把“起承轉合”的藝術借用在數學課堂慢教育設計層面，則可詮釋為：起課、承課、轉課、合課的藝術.

這里的“起課”是指情境建設要計白當黑；“承課”是指問題構造要以一當十；“轉課”是指變式思維要觸類旁通；“合課”是指聯結內化要通體相關.唯有遵循“起承轉合”的思想藝術設計數學慢教育教學，讓學生在親歷“為何體驗，體驗為何”中獲得活潑潑的內源建構思維的發展，方能讓學科教育觀在數學慢教育課堂得以“本體”落實、辯證前行，終歸于“過程性”生命教育的生態生長.[1]

1 “起”課的藝術

“起課”是一節課的開端.“良好的開端是成功的一半”就是對起課的哲學思量，“起”意味著“箭在弦上”，一種就緒的心理準備狀態.而“箭在弦上”用在教學設計層面則是“如何起”的問題，目前流行的起課是生活化情境營造，為理解而情境是值得認同的，但為情境而情境的現象要叫停.筆者一直欣賞“減法”教學，盡量在數學內部尋找“關系性理解”的情境觀是數學慢教育的本體論，也是學科教育應有的價值觀.這和建構主義不允許有“前概念”的觀點是一脈相承的.

“疏可走馬，密不通風”是書畫的最高境界，而“計白當黑，虛實相間”則是慢教育起課的生動具象.就認知規律而言，起課的問題心理水平要有利于不同層次的兒童在“做”和“思”的過程中各就各位而終于復合，一般的心理水平代表大眾整體水平，承擔計白當黑中“黑”的作用，心理水平較高或較低代表個別與特殊，承擔計白當黑中“白”的作用，唯有關注中間兼顧兩頭，方能讓認知思維向四面八方有效打開；就教學目標而言，起課的組織形式要有利于課時目標和課程目標在沖突中走向統一.因為課時目標是一次課的主旋律，相當于計白當黑中“黑”的作用，而課程目標是高觀點層面一次課的思想統領，相當于計白當黑中“白”的作用，唯有黑白相間，方能讓思維目標向四面八方有序打開；就教學方法而言，起課的問題樣態要有利于發現和提出新問題并在思辯中并軌諧行.因為“提出一個問題往往比發現問題更重要”（愛因斯坦語），所以發現問題承擔“黑”的作用，而提出問題承擔“白”的作用，唯有讓發現和提出問題的行為方式相互諧振，方能讓分析思維向四面八方梯級打開.

不妨以蘇教版七年級下冊“9.5因式分解”概念教學為例，說說“起課”的藝術.初中學生的形式邏輯思維已占優勢，已經開始能理解抽象概念的本質屬性，且辯證思維的獨立性和批判性也有了很大的發展，這為形式化概念的學習準備了心理基礎.為此，筆者確立的教學目標是：經歷逆用單項式乘多項式、乘法公式探索因式分解的過程，體會整式乘法運算與因式分解的內部聯系，發展逆向思維能力；通過代數計算和幾何面積法，理解因式分解的方法本質.然后讓學生站在概括知識的平臺上研讀整體內容，說說本節研究了哪些內容，如何劃分課時？第一次課應該研究什么？怎樣研究？為什么？這樣設問和學法指導有利于學生從整體上把握課時的高度和思維的長度，為有主見的自學提供了不留痕跡的體驗載體，也為學生發現和提出問題準備了廣闊的思維空間.經歷自研、他研、你研、我研、合研的研究過程，終歸于群體共識的達成：課時1逆用單項式乘多項式、乘法公式運算歸納因式分解的概念，初步會用提公因式法、公式法分解因式；課時2和課時3：會用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）分解簡單多項式的方法，體悟整式乘法運算與因式分解的互逆關系；課時4：通過剪拼圖形，借助圖形面積幫助學生理解因式分解的幾何意義.

如果說整體研讀是計白當黑的學法藝術，那么針對性目標的確立是“白”的外在表征的具體化，則課時劃分方法的共識達成是“黑”的內在作用的具體表現.或許這樣的起課沒有熱鬧的場象甚至過于平靜，但暗流涌動的思維就是計白當黑作用的最大化，是數學慢教育課堂起課的藝術所在，也是學科教育觀的具體外顯.

2 “承”課的藝術

承課是一節課的重頭戲，承擔由“知”到“識”的思維過程，是新知輸入的關鍵性環節.“承”意味著過程聯結，把哲學層面的“聯結+過程”用在教學設計層面，則反映龐加萊的數學哲學觀：數學上的連續性是從經驗的連續性逐步修改而來的，在一定條件下與經驗一致.這種思維的“連續性”勢必要做出哲學追問“怎樣承，承什么”的問題.目前常態課堂的常規做法是“例題+習題”，這樣的承課或許直奔主題、省時省力，但強調的是“掌握和記憶現成知識”，停留在“模仿加記憶”的水平.按涂榮豹的數學教學認識論來說，這勢必影響學習主體創造精神的發展.筆者一直堅守主體差異教學論即尊重不同個體的認知水平和直覺優勢，采用多維度設計的方法，讓不同質態的兒童獲得應識能識的發展.

“一目十行”是對讀書能力的一種稱贊，“聞一知三”是對推理能力的認可，而“以一當十”則是對數學慢教育“承課”藝術的贊賞.就教材觀而言，教材只是為學習提供線索，承擔以一當十“一”的功能，而承載教學目標任務的教學內容的建設，應該具有以一當十“十”的效用.因此數學慢教育課堂關注問題設問方式的多樣化，為不同個性的兒童提供不同的研究載體，從而落實“人人都能獲得良好數學教育”的課程目標；就發展觀而言，兒童是發展中的人，個體的數學現實具有“瞬時性”特征，因此要用發展的眼光看待成長中的兒童.[2]為讓學習系統主因素學生的思維發展最大化，問題研究的方式要自由開放，對暫時落后的孩子要有足夠的期待.若把個體的數學現實當成“一”，則期待的正值應當是“十”，方能讓數學慢教育課堂實效四溢、學力豐長；就差異論而言，因“材”施教和因“才”施教就是對差異論的積極回應.千姿百態的兒童成為班級系統的多因素，不同的認知能力、經驗水平以及思維慣習，造就個體學習水平的差異性.為讓個性各異的兒童各顯其長，數學慢教育關注問題設置的多方案，落實“不同的人在數學上獲得不同發展”的課程觀.如果說因材施教是“一”，那么因才施教則有能力顯化“十”的效用.唯有基于多方案設計，方能有力釋放數學慢教育因“才”施教的價值，從而落實人文課程能力.

以“因式分解”的具體承課設計來呈現承課的藝術.基于差異論的多方案設計：

方案1：（1）在小學里學過37×2.8+37×5+37×2.2=37（2.8+5+2.2），37表示什么意義？被稱為什么數？（2）用字母表示單項式乘多項式的法則并倒過來寫，你有什么發現？規定什么是多項式的公因式？為什么？方案2：（1）如果一個大長方形的面積是37×2.8+37×5+37×2.2，不通過計算你能直接指出它的一邊長嗎？這里的“37”叫做什么數？（2）如果一個大長方形的面積是ab+ac+ad，它是由幾個小長方形拼成的？它的邊長是什么？這里的“a”可以叫做什么？你是怎么想到的？方案1用學生的“數學現實”作為素材，讓學生感受學習因式分解的必要性，能幫助學生理解數學知識的內部關系；呈現單項式乘多項式的法則，旨在引起學生對“公因數”的再認，在逆向思維的參與下，讓學生在頭腦中呈現出“公因式”的表征和“因式分解”的直觀形象，激發學生的求識欲.而方案2問題設置體現借助面積法揭示分解因式的幾何背景和公因式的合情性，要求學生擁有表象思維能力和幾何直觀能力，方能獲取可理解的結論.在具體操作中要給學生畫圖體驗的時間，方能讓不同學生都能獲取自己的理解契機，讓原本抽象的概念可視可見.方案1適合表象思維偏好的學生選用，方案2適合直覺思維偏好的學生選用.

如果說多方案設計是以一當十的話，那么學生選對方案的過程是以一當十的“一”，則尊重差異設計的價值觀就是以一當十的“十”.唯有尊重生命求知求識的天然個性，方能帶來數學慢教育承課的以一當十和以十當一的藝術效果.在發展學生的同時也成就慢教育的生態能力，這或許是數學慢教育承課的最大貢獻，隱喻道生一、生二、生三、生無限的躍遷效應，體現學科教育的正能量.

3 “轉”課的藝術

“轉課”是學科教育的核心價值，知識類化的關鍵，關乎思維的變遷和能力的遷移.“轉”意味著變化，變化中“不變”的東西，往往是最重要的，變化的背后總有不變的東西在支配著，這應當是科學與哲學的基本信念.[3]把這種包含辯證因素的“基本信念”放在教學設計層面，則是數學慢教育轉課的精髓.“變化觀”的具體化就是變式，而變式又是擠掉非本質屬性的常規手段，是概念類化的有效方式，也是舉一反三、觸類旁通能力獲得的有效抓手.時下常態的轉課就是顯性變式練習（數量的變化）.實踐證明這種做法事倍功半，引發厭學情緒事件，后果可想而知.筆者堅守“做一題，通百題”的信念，這種信念是由學生認知活動的自覺性、選擇性和探索性決定的.堅定這種信念的基礎是隱性變式聯系（變化背景），而不是做超量的平板題能解決的.

“觸類旁通”原指掌握某一類事物的規律，就能推知同類事物的本質.在這里是對轉課藝術價值的判斷和考量.對觸類旁通的具體刻畫，莫過于“見瓶水之冰，而知天下之寒”的微言大義.把它用在數學慢教育課堂則是對學生心智技能的認可，也是對教學設計的高度認同，更是對轉課藝術的高位欣賞.轉課藝術的最高境界就是觸類旁通，就認知心理學而言，數學認知活動過程就是一種數學心理建構的過程，觸類是數學心理建構活動的起點，旁通是數學心理建構活動的終點，觸類旁通是數學認知心理釋放作用的結果；就系統方法論而言，學生作為學習的主體構成學習系統主元素的主元素，學生的主觀能動性、思維水平、遷移形態影響系統的平衡性，學生的思維狀態由“觸類→旁通”與學習系統的“不平衡→平衡”是一致的.這種動態平衡論，要求問題變式方法的隱性化，有利于求知思維的真正“內化”并到達求識的境界，也才能到達因觸類而旁通的正遷移境界；就數學哲學觀而言，哲學研究自然普遍的規律，只有數學的抽象，才能完成描述這一普遍規律的任務，因此數學思維對哲學的作用是毋容置疑的.觸類是數學研究對象的具體化，而旁通是哲學研究的普遍規律，只有數學與哲學相互作用，方能讓觸類因旁通而一般，旁通因觸類而個別，終歸于概念能力的觸類旁通.觸類旁通的最好抓手就是概念例證的變化，方能排除無關特征的干擾，確認本質屬性并推及一般.《周易·系辭上》的“引而伸之，觸類而長之，天下之能事畢矣.”就是充滿辯證法的轉課藝術.

以“因式分解”的具體轉課設計來顯化轉課的藝術.基于“變化觀”的問題設計：

（1）下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是？為什么？

①ax-bx=x（a-b）；②16ax+12ax2=4ax（4+3x）；③2a（a-2b）=2a2-4ab；

④x2+2x+6=x（x+2）+6；⑤a2-1=（a+1）（a-1）；⑥（x+2y）2=x2+4xy+4y2；

⑦3x2-2x-1=（3x+1）（x-1）。請寫一個能反映因式分解的等式，并說明理由.

（2）用規格為a×a，a×b，b×b的紙片若干張拼圖.①拼出面積是a2+4ab+3b2的長方形，指出邊長并寫出等式；②拼出邊長是（a+b）和（3a+b）的長方形，指出面積并寫出等式.經歷拼圖活動，你對因式分解有哪些新的認識？寫一寫.

因式分解的定義是描述性的，采用的是“像這樣的，……，叫做……”，這就要求在教學設計時，只要抓住概念的實質（寫成幾個整式的積）即可，淡化概念的教學（本節的分解因式僅限于有理數范圍）.方案1設置概念辨析問題旨在抽象出概念本質屬性并加以類化，服務于概念的形成；而方案2則是借助拼圖，直觀再現乘法運算與因式分解的關系，促進概念的同化與順應，達成概念的完形，這類問題解決具有創造意識，可供思維活躍的學生選用.

如果說概念辨析活動的創設是一種顯性變式設計，那么由拼圖顯化概念本質的行為是一種隱性變式設計，則殊途同歸的獲取概念的本質屬性就是概念類化過程的結果.這里的顯性變式就是“觸類”作用的具體表現，“旁通”就是隱性變式通用的結果，梯級變式之后的“變化”就是轉課藝術釋放力量的結果.正像“哲學在破舊立新中生長，數學在建設中發展.”轉課的藝術在轉課中漸次課程化，觸類旁通意義也隨轉課的藝術發展而辯證前行.

4 “合”課的藝術

“合課”是元認知活動的重要載體，是知識結構轉化為認知結構的有效抓手.按照裴光亞先生的合課觀（結課觀），可以是總結性合課，表現形式是問題解決，立足點是引起學生的內在沖突，滿足學生的內在需求；可以是情境性結課，表現形式是提出問題，為后續課堂奠基思維經驗，立足點是知其然并知其所以然的所以然，通過錯位、反例讓“以為懂知其不懂”.[4]無論是哪種合課都是因聯結而內化，因相關而通體，聯結內化的過程就是通體相關的過程，也是知識經驗、思想方法圖式化并形成良好認知結構的過程.目前，大多數課堂因練題容量觀的制約，往往省去最不該省去的合課環節，例題講授之后，除了練習還是練習，結果只能是記住結論和題型的解法，屬于“知”的近期學習效果，缺乏“識”的創造性，無法將既得認知轉化為能力的能力.[5]筆者一直堅持“總結+情境”通體相關的合課觀，這樣能讓學生擁有句號的成功感，又有新沖突的內在困擾，使得解除新困惑的迫切感成為持續求識欲的動力源，這就是數學慢教育課堂合課藝術的魅力所在.

通體相關是一種思維方法，是整體思維的表現形式，作為辯證邏輯思維結構的獨立形態存在著，強調從整體上把握事物的本質，重視整體與部分的內關聯，顯化“天人合一”的哲學思想.把它用在教學設計層面，則反映數學慢教育課堂合課的藝術，具體表現在問題設計的整體性、知識建構的連續性和思想方法的系統性.就思維的整體性而言，設計的總結性問題具有整體大于部分之和的哲學意義，讓學生在問題解決中能獲得外源建構思維的發展；就知識的連續性而言，設計的聯結性問題具有目標選擇聯結能力的指導意義，讓學生在問題解決的過程中切身體認辯證建構思維對于數學再發現的價值；就方法的系統性而言，設計思想開放性的歸結問題具有弱抽象和強抽象交互作用的方法論意義，讓學生在內源建構思維中獲得正遷移能力并轉化為未來某個時段的正向行事觀.

以“因式分解”的具體合課設計來顯化合課的藝術.基于“聯結能力觀”的問題設計：

（1）把下列各式分解因式并思考：你是怎樣分解因式的？這樣分解的依據是什么？

①12ab2c-6ab；②16a2-9b2；③4a2-12ab+9b2；④18x2-50.（2）請寫一個能用提公因式法、公式法分解因式的多項式，讓同伴給出應答過程并說明理由.（3）以“因式分解”為話題，寫一篇數學短文.在學生整體領悟因式分解要義的基礎上，引導學生在問題解決和提出問題的層面進行元認知活動的合課行為，能助推學生的產生式系統形成.而合課的藝術性表現在問題設計的聯結性、錯位性以及逆向的思維構造：問題（1）讓學生在因式分解中體悟分解因式的方法.直面簡單多項式的結構，能迅速確定用哪種方法分解因式（是純粹的提公因式法和公式法，還是綜合法）.教材以填空的形式呈現該問題，鎖定思維步驟，給出一定的指向，有利于學生定向把握和定量思考；在這里以合課的形態呈現，撇開思維形式化鋪墊，解題思維水平明顯上升，為后續“一提、二套、三分解”的方法鋪墊操作經驗和思維地氣，教學中要用好它.問題（2）以逆向思考的形態呈現知識內聯結的狀態，有助于學生深度理解作為“基石”的概念學習.問題（3）以建構思維的培養模式進行元認知活動，使得學生在暴露“怎樣學”“學怎樣”的過程中獲得通體相關的本體價值.關鍵是“讓學生先來”，方能切實實現合課復合的教育哲學功能.

如果說問題解決是一種內源建構思維的培養，那么基于逆向思考的問題提出則是一種辯證建構思維的搭建，則錯位思考（話題作文）就是一種內源建構思維的發展.而合課的藝術就在于讓學生通體相關思維的越級發展，因為教育的本質就是情感能力的形成.正如贊可夫所言：教學法一旦觸及學生的情緒和意志領域，這種教學法就能發揮高度有效的作用.[6]

數學慢教育設計中“起承轉合”的藝術，是一種結構藝術，是一種方法藝術，還是一種策略藝術，更是一種人生藝術.無論放在哪個層面，關鍵是相輔相成，方能因且行且思而漸行漸遠，并一路走好.

“起”“承”“轉”“合”設計藝術作為數學慢教育研究板塊與“數學慢教育文獻綜述”“初中數學慢化教育的可行性調查與分析” [7]“初中數學慢教育評價的‘四力”（《上海教育科研》擬刊）“初中數學慢化教育的元話語與操作要義” [8]都是開展數學慢教育在地性研究的“標志性事件”，在長達六年探索的基礎上，試圖對慢教育課堂進行理性思索和知性復歸，呈現數學慢教育課堂的本真（“順木之天性，激情啟疑使之樂學”），終歸于“天光云影共徘徊”的大教育境界.

順便提及，數學慢教育課堂通常分為幾大模塊，其中概念課、原理課（規則課）、解題課是教學的主體.[9]“概念課”設計的藝術關鍵是“起”即滲透本原性數學史教育；“原理課”設計的藝術關鍵是“承”與“轉”，即經歷理論的建立、發展和致用的過程；“解題課”設計的藝術關鍵是“合”，即觀照元認知培養意識，反映“生命觀”教育的教育主張.

參考文獻

[1] 朱桂鳳，孫朝仁.數學慢教育研究綜述[J].江蘇教育研究，2013（7A）：47-50.

[2] 傅佩榮.西方哲學與人生（第1卷）[M].北京：東方出版社，2013.

[3] 張景中.數學與哲學[M].北京：中國少年兒童出版社，2011.

[4] 裴光亞.穿行的教研人生在書房與教室間：數學教師的專業發展[M].西安：陜西師范大學出版總社有限公司，2013.

[5] 王光明.數學教育研究方法與論文寫作[M].北京：北京師范大學出版社，2013.

[6] 蕭柏榮.數學教育探索五十年[M].南京：南京大學出版社，2012.

[7] 朱桂鳳，孫朝仁.初中數學慢化教育的可行性調查與分析[J].中學數學雜志，2014（6）：1-4.

[8] 朱桂鳳，孫朝仁.初中數學慢化教育元話語與操作要義[J].中學數學，2014（10）：73-75.

[9] 何勇，曹廣福.數學課堂如何兼顧學生數學素養與應試能力[J].數學教育學報，2014（2）：60-62.