正確認識和重視對數學思考的培養

李樹臣

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）指出“數學與人類的發展和社會進步息息相關，隨著現代信息技術的飛速發展，數學更加廣泛應用于社會生產和日常生活的各個方面.”這就客觀決定了我們的數學教育不僅要讓學生獲得一些基本的數學知識，更重要的是應讓學生具備在這個充滿疑問、有時連問題和答案都不確定的世界里生存的本領.如何才能獲得這些“本領”呢？這是一個系統的研究課題，本文從培養學生數學思考方面談談自己的看法.

1 數學思考是數學課程的重要目標

所謂數學思考，就是在遇到各種各樣的問題情境時能夠運用數學的知識、方法、思想和觀念去分析、探究，從而發現其中存在的數學現象和數學規律，并運用數學的知識和方法加以解決的過程.

《課標（2011年版）》對數學課程的“總目標”是這樣表述的：

通過義務教育階段的數學學習，學生能：

（1）獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.

（2）體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.

（3）了解數學的價值，提高學習數學的興趣，增強學好數學的信心，養成良好的學習習慣，具有初步的創新意識和科學態度.

對于上述總目標，《課標（2011年版）》又從“知識技能、數學思考、問題解決、情感態度”四個方面進行了具體的闡述.對于數學思考，《課標（2011年版）》的描述是：

（1）建立數感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發展形象思維與抽象思維.

（2）體會統計方法的意義，發展數據分析觀念，感受隨機現象.

（3）在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法.

（4）學會獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式.

這四點是數學課程在“數學思考”方面應達到的目標，也可以認為是數學思考應包括的內容.它向我們指出了“數學思考”這一課程目標希望達到的三個目的：讓學生學會獨立思考，體會數學思想，體會數學思維方式.

這就要求我們在數學教學中要引導學生在學會知識的過程中也要學會思考，學會思考的重要性高于學會知識.這種思考是“運用數學的思維方式進行”的思考，也就是“數學方式的理性思維”.它有豐富的內涵，包括形象思維、邏輯思維和辯證思維，包括合情推理和演繹推理等等.教學中讓學生學會思考，就能形成用數學的眼光看世界，從數學的角度去分析問題的素養，能使學生終生受益.

2 培養學生數學思考的基本作法

許多中外學者一直強調數學思考的重要性.著名教育家蘇霍姆林斯基認為“真正的學校乃是一個積極思考的王國.”數學家趙訪熊教授說，有些學生學習效率之所以不高，主要原因是缺乏思考.圣人說得好：“學而不思則罔.”可見，數學思考是數學教學中最有價值的行為.

2.1 精心設計問題情境，引導學生積極思考

《課標（2011年版）》指出“數學教學活動，特別是課堂教學應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考…….”學習過程不僅是學生掌握知識的過程，更是一個在數學思考的基礎上，發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的過程.

在數學教學中，從課堂提問到新概念的形成與確立，新知識的鞏固與應用，學生思維方法的訓練與提高，以及實際應用能力和創新能力的增強，無不是從“問題”開始的.因此，教師應精心創設問題情境，引導學生通過問題情境深入到數學學科的本質，超越對于技巧性問題的過度追求，感悟數學命題背后隱含的思想方法，明晰知識之間的相互聯系，從而形成優化的知識結構.

案例1 二元一次方程組概念的建立過程.

為了引出“二元一次方程組”的概念，可創設下面的問題情境：

雄偉的長城是中華民族的象征.長城東起鴨綠江，西達嘉峪關，全長7300千米，其中東段從鴨綠江到山海關，西段從山海關到嘉峪關，西段比東段長6100千米.長城的東西段各長多少千米？在這個問題中：

（1）那些量是已知量？哪些量是未知量？

（2）有哪些等量關系？

（3）如果設長城東段的長為x千米，西段的長為y千米，那么長城的全長為 ；西段比東段長 .

根據等量關系：東段的長+西段的長=7300米，可以列出方程 ；

根據等量關系：西段的長-東西段的長=6100米，可以列出方程 .

上面的兩個方程有什么特點？與同學們交流.

同學們在思考、回答、交流以上問題的過程中，不僅經歷了二元一次方程組的形成過程.而且還會認識到二元一次方程組是在解決實際問題的過程中產生的.在引導學生學習《課標（2011年版）》界定的大部分內容時，我們都要結合具體內容，精心創設問題情境，努力讓學生經歷這些知識的形成過程.這樣的呈現形式有利于激發同學們的學習興趣，引起數學思考，從而更好的理解數學的實質，了解知識之間的相互關聯.

2.2 尊重學生的主體地位，努力轉變學習方式

《課標2011版》指出“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式.學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.”這就是我們選擇學習方式的“總方針”.學習數學的最好方法是做數學，有些數學知識可引導學生自己親自操作、實驗或通過現代教育技術手段演示及操作，讓學生在觀察、操作、思考、猜想、證明等數學活動的過程中自主獲得知識.

案例2 勾股定理探究發現過程.

對于這個定理，可用下面的問題，引導學生進行實驗、思考、探究、歸納、發現等活動，從而自主得到定理：

（1）用硬紙板剪8個圖1所示的同樣大小的直角三角形，設直角三角形的直角邊分別為a和b，斜邊為c；

（2）如圖2和3所示，在白紙上畫出兩個邊長均為（a+b）的正方形；按照圖2所示的方式，將剪出的4個直角三角形，擺放在第一個正方形內；如圖3所示，將另外的4個直角三角形，擺放在第二個正方形內.

（3）判斷圖2和圖3中四邊形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的形狀，說明理由.

（4）觀察圖2，小正方形Ⅰ的面積是 ，小正方形Ⅱ的面積是 .

（5）觀察圖3，小正方形Ⅲ的面積是 .

（6）圖2中小正方形Ⅰ和Ⅱ面積之和與圖3中小正方形Ⅲ的面積有什么關系？由此你發現直角三角形的三邊a，b，c之間有怎樣的數量關系？

圖1 圖2 圖3 設計意圖 勾股定理本身的結論非常簡潔，且容易記憶，如果直接告訴學生，幾分鐘就可以解決問題，但這樣的教學丟棄了一次引導學生思考與探究的好機會.這樣設計不僅讓學生經歷了勾股定理的產生過程，而且還能有效地培養學生觀察、思考、猜測、推理等能力，同時加深對數形結合思想的認識，積累一定的數學活動經驗.

2.3 重視合情推理能力的培養

《課標2011年版》指出：“推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算.在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發現結論；演繹推理用于證明結論.”由此可以看出，合情推理就是從具體的事實經驗出發，通過觀察、實驗、類比、聯想、歸納、猜想等手段而進行的一種推理.這種推理的是從觀察入手，通過類比而產生聯想，或通過歸納作出猜想的，在推理的過程中一刻也離不開數學思考.

案例3 根與系數關系的探究過程.

為引導學生自己探究、發現根與系數的關系，可用下面的問題引導學生去活動：

（1）解下面的一元二次方程：

①x2+3x+2=0，②x2-5x+6=0，③3x2+x-2=0，④2x2-4x+1=0.

（2）根據（1）中所求出的每個方程的根，分別計算兩根之和與兩根之積，并把結果填入下表：

（3）觀察上表，你發現在上面的四個方程中，兩根之和與兩根之積的值分別與相應的方程的系數之間有怎樣的關系？

（4）由此你猜想一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根x1，x2與方程的系數a，b，c之間有什么關系？能證明你的猜想是正確的嗎？與同學交流.

（5）這個規律對于任意的一元二次方程都成立嗎？如方程x2+x+1=0，它的根也符合這個規律嗎？

（6）請你用數學語言表達上述規律.

設計意圖 這些問題由易而難，由現象到本質，由特殊到一般.目的是為了讓學生通過自己的思考、歸納、發現一元二次方程的根與系數的關系.

2.4 加強分析法教學

分析法對于培養學生的數學思考能力具有獨到的價值.分析法是指“執果索因”的邏輯方法，它是從數學題的特征結論出發，利用學過的公理、定理、定義或法則去推想要證明這個結論需要具備的條件，一旦這些條件具備，結論就成立.因此，我們應根據結論去尋找應具備的條件.譬如說要甲命題成立，那就去尋找甲命題成立的條件是否具備.若甲命題的條件可以由已知條件直接推得，那么問題就解決了.如果所需的條件中的一部分或全部都不在已知中，問題沒有解決.那就繼續往下想，欲想甲命題成立，必須先證明乙命題成立，那就尋找乙命題的條件是否可直接由已知條件推出.如果可以，那么問題就解決了；如果還是不行，那就繼續按著同樣的方法向上追溯，直到所需要的某個命題已能由已知條件推得為止.

案例4 “若四邊形的兩組對邊相等，則四邊形是平行四邊形”的分析過程.

圖4已知：如圖4，在四邊形ABCD中，AD=CB，BA=DC.

求證：ABCD是平行四邊形.

分析法：連結BD，欲證ABCD是平行四邊形，則需證明AD∥BC，BA∥CD.可以證∠1=∠2，∠3=∠4，則需證△ABD≌△CDB，這一點則需先證出AD=CB，BA=DC，BD=DB.這些條件可以從已知中找到.

通過分析得到思路后，再用綜合法把證明過程寫出來就可以了.長期堅持用分析法尋找證明的思路，學生的數學思考能力將會逐步得到提高.

案例5 究竟是白酒中的紅酒多還是紅酒中的白酒多？

相同數量的一杯白酒與一杯紅酒，取一匙白酒倒入紅酒內，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒入白酒內，試問，白酒杯中所含的紅酒比紅酒杯中所含的白酒多，還是正好相反？

析解 通常的解法是：假設兩酒杯容量均為a，一匙的容量為b，則第一次動作后，白酒杯中所含白酒量為a-b，第二次動作后，……，不少人會在計算過程中擱淺、碰壁.

事實上，我們可作這樣進行分析：兩個杯子最終含有相同數量的酒，如果每個杯子中的白酒和紅酒是分開的，那么白酒杯中的紅酒就是紅酒杯中所缺少的部分，而紅酒杯中所缺少的部分正好被白酒所填補，所以，白酒杯中所含紅酒的量與紅酒杯中所含白酒的量是相同的.

這個問題似乎不是數學問題，通過深層次的思考發現“白酒杯中紅酒的量就是紅酒杯中所缺少的量”是解答的關鍵.培養學生用數學的思維方式分析一些非常規問題是學生應具備的基本素養之一.

2.5 通過建模教學，培養學生應用意識

“模型思想”和“應用意識”都是《課標（2011年版）》提出的十大核心詞，模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.所謂數學應用意識，就是一種用數學的眼光、從數學的角度去觀察、分析周圍生活中問題的積極的心理傾向和思維反應.現代社會比以往任何時候都更需要公民運用數學知識去面對生活和工作中的問題.通過建立數學模型解決這些問題對于培養學生的數學思考是非常有效的.

案例6 什么時間出發？

某旅行團從甲地到乙地游覽，甲乙兩地相距100公里，團中的一部分人乘車先行，余下的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分人，已知步行時速是8公里，汽車時速是40公里，問要使大家在下午4：00同時到達乙地，必須在什么時候出發？

析解 這個問題實質上求的是如果按照題設的行走方式，至少需要幾個小時才能保證下午4：00同時到達乙地，這需要通過建立方程組模型來解決.正確找到問題中所含有的等量關系是建立方程組模型的關鍵，這也是學生學習的難點所在，為幫助學生克服難點，可以借助于線型圖分析與思考：

設先坐車的一部分下車地點距離甲地x公里，這一部分人下車地點距離另一部分人的上車地點相距y公里，如圖5所示：

x+y40=x-y8，

2y+100-x40=100-x8，解得x=75，

y=50.

x40+100-x8=7540+100-758=5（小時）

答：要使大家在下午4：00同時到達乙地，必須在上午11：00出發.

表面看本題目主要考查了學生列方程組解應用題的能力.深層看是通過解答這樣的題目培養學生的數學模型意識、應用意識，而這些意識的形成與數學思考密切相關.

2.6 實施開放題教學策略

數學開放題是一種重要的教學思想和教學模式.在解答開放性問題時，因為它的條件不完備、答案不確定且具有層次性，解決策略具有發散性和創新性等特征，容易使學生主動參與、積極進行思考與探究，也可以讓不同層次的學生在思考、解答同一問題時得到不同的發展，從而讓所有學生都有體驗成功的機會，在成功的基礎上思考、探索更深層次的問題，從而形成良好的思維品質.

案例7 需要添加什么條件？

圖6如圖6，在四邊形ABCD中，點H是BC的中點，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點E，F，連結BE，CF.

（1）要使得△BEH≌△CFH，需要添加的條件是 .

（2）在問題（1）中，當BH與EH滿足什么關系時，四邊形BFCE是矩形，請說明理由.

析解 （1）根據全等三角形的判定方法，當EH=FH或BE∥CF或∠EBH=∠FCH時，都可以推出△BEH≌△CFH.（2）由（1）可得出四邊形BFCE是平行四邊形，再根據對角線相等的平行四邊形為矩形可得出BH=EH時，四邊形BFCE是矩形.

以上我們論述了幾種培養學生數學思考的常用方法.當然，引發學生積極思考的途徑還有很多，希望老師們加強研究和交流，結合具體的教學內容努力為學生創設良好的思考環境，引發學生的數學思考，使學生成為會數學思考、樂于數學思考的人.實現《課標2011版》提出的“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”的基本理念.