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巧解高考題中拋物線的焦點弦問題

2014-04-29 12:26:55陳小林曾利萍
數學學習與研究 2014年15期
關鍵詞:拋物線性質

陳小林 曾利萍

拋物線的焦點弦問題是解析幾何中的一個重要問題,同時也是高考中關于拋物線問題的高頻考點.解決這類問題,如果能夠熟練運用本文中討論的4條性質,就可以將很多復雜問題簡單化.

如圖,AB是拋物線y2=2px(p>0)過焦點F( p 2 ,0)的一條弦.設A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點M(x0,y0),過A,M,B分別向拋物線的準線作垂線,垂足分別為A1,M1,B1.

一、拋物線焦點弦的4條性質

性質1 過焦點的弦長 |AB|=x1+x2+p=2x0+p.

證明 根據拋物線的定義有|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,故|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=x1+ p 2 +x2+ p 2 =x1+x2+p=2x0+p.

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