不要想當然

黃雪靜

前幾日去某校聽數學公開課，上課教師講解了用平移的方法求幾塊分散圖形的面積和，例子是從大家最熟悉的簡單圖形開始的.如圖1，四邊形ABCD是一塊矩形的草地，AD=a，AB=b，在草地里修了一條矩形的路，EH=2，求左右兩塊草地的面積和.同學們通過研究，得出最簡單的方法是：通過平移，把左右兩塊草地拼成一個矩形，寬還是b，長變成了（a-2），面積為b（a-2）.接著大家也就很容易的用平移的方法把圖2、圖3、圖4的問題解決了.

圖1 圖2

圖3 圖4

問題繼續發展，草地中的路由一條成了兩條，還是從簡單的圖形開始，如圖5，橫向和縱向是兩條矩形的路，路的寬度EH=IJ=2，求四塊草地的面積和.同學們自然地想到了平移的方法，拼成一個長為（a-2），寬為（b-2）的一個矩形.

圖5 圖6

老師進行變式訓練，把其中一條路變成平行四邊形，如圖6，平移的方法仍然好使！先把右邊的兩塊向左平移2個單位，再把下面的兩塊向上平移2個單位，面積是（a-2）（b-2）.

再往下，問題來了！老師把另一條路也變成了平行四邊形，如圖7，按照思維定式，同學們也就沒怎么思考，就用平移的方法解決了，得出面積為（a-2）（b-2），結論是：面積沒變！

圖7

問題是：能拼成一個矩形嗎？您有興趣的話，可以拼拼試試，拼不成！如果您會使用“幾何畫板”這個軟件，很容易驗證這個結論是錯誤的.

我們用反證法來證明它不能拼成一個長為（a-2），寬為（b-2）的矩形.

假設它能拼成長為（a-2），寬為（b-2）的矩形，那么四塊草地的面積和為（a-2）（b-2）=ab-2a-2b+4，也就是說，兩條路重合部分的面積應該是4，是個常量.而實際上呢，我們來研究一下.我們把圖放大，如圖8.

圖8

過點P，O作AD的平行線，交EF于點Q和R，易證QP=RO=EH=2，△PMQ≌△ONR，平行四邊形MNOP的面積與平行四邊形QROP的面積相等，都是4.我們過點P作AB的平行線，交直線JK于點S，交RO于點T，易證PS=IJ=2，那么PT>PS=2，平行四邊形QROP的面積=RO·PT=2· 2+ST =4+2·ST>4，這與它是常量4矛盾！從而證明了這種情況是不適用平移的方法的！

老師在平時的教學中，研究問題要嚴謹，不要想當然.