不要想當(dāng)然

黃雪靜

前幾日去某校聽(tīng)數(shù)學(xué)公開(kāi)課，上課教師講解了用平移的方法求幾塊分散圖形的面積和，例子是從大家最熟悉的簡(jiǎn)單圖形開(kāi)始的.如圖1，四邊形ABCD是一塊矩形的草地，AD=a，AB=b，在草地里修了一條矩形的路，EH=2，求左右兩塊草地的面積和.同學(xué)們通過(guò)研究，得出最簡(jiǎn)單的方法是：通過(guò)平移，把左右兩塊草地拼成一個(gè)矩形，寬還是b，長(zhǎng)變成了（a-2），面積為b（a-2）.接著大家也就很容易的用平移的方法把圖2、圖3、圖4的問(wèn)題解決了.

圖1 圖2

圖3 圖4

問(wèn)題繼續(xù)發(fā)展，草地中的路由一條成了兩條，還是從簡(jiǎn)單的圖形開(kāi)始，如圖5，橫向和縱向是兩條矩形的路，路的寬度EH=IJ=2，求四塊草地的面積和.同學(xué)們自然地想到了平移的方法，拼成一個(gè)長(zhǎng)為（a-2），寬為（b-2）的一個(gè)矩形.

圖5 圖6

老師進(jìn)行變式訓(xùn)練，把其中一條路變成平行四邊形，如圖6，平移的方法仍然好使！先把右邊的兩塊向左平移2個(gè)單位，再把下面的兩塊向上平移2個(gè)單位，面積是（a-2）（b-2）.

再往下，問(wèn)題來(lái)了！老師把另一條路也變成了平行四邊形，如圖7，按照思維定式，同學(xué)們也就沒(méi)怎么思考，就用平移的方法解決了，得出面積為（a-2）（b-2），結(jié)論是：面積沒(méi)變！

圖7

問(wèn)題是：能拼成一個(gè)矩形嗎？您有興趣的話，可以拼拼試試，拼不成！如果您會(huì)使用“幾何畫(huà)板”這個(gè)軟件，很容易驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的.

我們用反證法來(lái)證明它不能拼成一個(gè)長(zhǎng)為（a-2），寬為（b-2）的矩形.

假設(shè)它能拼成長(zhǎng)為（a-2），寬為（b-2）的矩形，那么四塊草地的面積和為（a-2）（b-2）=ab-2a-2b+4，也就是說(shuō)，兩條路重合部分的面積應(yīng)該是4，是個(gè)常量.而實(shí)際上呢，我們來(lái)研究一下.我們把圖放大，如圖8.

圖8

過(guò)點(diǎn)P，O作AD的平行線，交EF于點(diǎn)Q和R，易證QP=RO=EH=2，△PMQ≌△ONR，平行四邊形MNOP的面積與平行四邊形QROP的面積相等，都是4.我們過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，交直線JK于點(diǎn)S，交RO于點(diǎn)T，易證PS=IJ=2，那么PT>PS=2，平行四邊形QROP的面積=RO·PT=2· 2+ST =4+2·ST>4，這與它是常量4矛盾！從而證明了這種情況是不適用平移的方法的！

老師在平時(shí)的教學(xué)中，研究問(wèn)題要嚴(yán)謹(jǐn)，不要想當(dāng)然.