如何用代數法判斷直線與拋物線的位置關系

李紅紅

在解答圓錐曲線問題時，我們經常會遇到判斷直線與拋物線位置關系的問題.此類問題側重于考查直線的方程、弦長公式、點到直線的距離公式、拋物線的

方程、一元二次方程的根的判別式、韋達定理等.判斷直線與拋物線的位置關系，主要有代數法和幾何法兩種方法.本文主要探討一下如何用代數法判斷直線與拋物線的位置關系.

一、直線與拋物線的位置關系

直線與拋物線有三種位置關系：相交、相切、相離. 如下圖所示.其中相交的有兩種情況，即相交于一點（當直線與拋物線的對稱軸平行或重合時）、相交于兩點.

二、用代數法判斷直線與拋物線的位置關系的思路

設拋物線的方程為y=2px（p>0），直線l的方程為：y=kx+b，則直線與拋物線的位置關系有如下幾種情況：

1.當直線l的斜率存在時，設l：y=kx+b，將此方程代入拋物線的方程y=2px（p>0），得kx+（2kb-2p）x+b=0（1），由于方程（1）的二次項系數中含有字母k，因此方程的最高次數可能是2，也可能是1.

若k≠0，則方程（1）是關于x的一元二次方程.

若△>0，則方程有2個解x，x（x≠x），此時直線與拋物線相交于兩點;

若△=0，則方程有1個解x=x，此時直線與拋物線相切于一點;

若△<0，則方程無解，此時直線與拋物線相離.

2.當直線l的斜率不存在時，設l：x=n，將此方程代入到拋物線的方程，得y=2pn（2），這是關于y的一元二次方程.

若△>0，即2pn>0，則方程（2）有2個解y，y（y≠y），此時直線與拋物線相交于兩點;

若△=0，即2pn=0，則方程（2）有1個解y=y，此時直線與拋物線相切于一點;

若△<0，即2pn<0，則方程（2）無解，此時直線與拋物線相離.

綜上所述，不管直線的斜率是否存在，要判斷直線與拋物線的位置關系，只需將直線的方程代入拋物線的方程中，若得到的方程是一元一次方程，則直線與拋物線必相交于一點，此時直線與拋物線的對稱軸平行或重合;若得到的方程是一元二次方程，則需分三種情況進行討論.當△>0時，直線與拋物線相交于兩點;當△=0時，直線與拋物線相切于一點;當△<0時，直線與拋物線相離.

例題：已知直線l的方程為y=kx+1和拋物線C的方程為y=4x，請討論直線l與拋物線C的公共點的個數.

分析：直線與拋物線的公共點個數有三種情況：（1）2個公共點.即直線l與拋物線C相交于兩點;（2）1個公共點.即直線l與拋物線C相交或相切于一點;（3）沒有公共點.即直線l與拋物線C相離.這些位置關系與所得的一元二次方程的二次項系數及△有關.

綜上所述，當k=0，或1時，l與C有1個公共點;當k<1，且k≠0時，l與C有2個公共點;當k>l時，l與C無公共點.

利用代數法判斷直線與拋物線的位置關系，關鍵是要構造出關于x或y的一元二次方程，討論其二次項的系數和判別式.只要抓住了這個關鍵點，就能順利解題.