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談談解答圓錐曲線中定點問題的兩種思路

2022-07-13 21:54:34王平崔小林
語數外學習·高中版下旬 2022年5期
關鍵詞:思路

王平 崔小林

圓錐曲線中定點問題具有較強的綜合性,且命題形式多種多樣.解答圓錐曲線中的定點問題,通常需靈活運用圓錐曲線的方程、定義、幾何性質、一元二次方程的判別式、韋達定理、直線的方程、斜率等.

求解圓錐曲線中的定點問題,一般有兩種思路.第一種思路:先從特殊情況入手,確定定點的坐標,再證明定點與變量無關即可.第二種思路:先從一般情況入手,通過推理、運算,求得定點的坐標,或證明定點與變量無關.

(1)求橢圓C的方程;

(2)如圖,若直線l:x=t(t>2)與x軸交于點T,點P為直線l上異于點T的任意一點,直線PA,PA分別與橢圓C交于M,N點.試問直線MN是否恒過橢圓C的焦點?如果是,請說明理由.

分析:我們根據題意很難找到特殊的情形,所以無法從特殊情況入手,需采用第二種思路求解.可根據題意分別設出點M、N、直線AM、AN的斜率以及方程,然后將直線的方程與橢圓的方程寐立,得到一元二次方程,根據韋達定理求得的坐標以及直線MN的方程,據此判斷出直線MN是否恒過橢圓的焦點.

(2)設M(x,y),N(x,y),直線AM的斜率為k,直線AN的斜率為k,

則直線A1M方程為y=k(x+2),直線AN的方程為y=k(x-2),

消去y得(1+4k)x+16kx+16k-4=0,

因為-2和x是方程的兩個根,

由于P點在直線PA,PA上,尸點的橫坐標為t,

即直線MN與x軸的交點在橢圓C內.

在判斷直線是否恒過某一定點(x,y)時,如果直線的方程明確,則可根據直線的點斜式方程y-y=k(x-x)或截距式方程y=kx+b來求得定點的坐標;如果直線的方程不確定,則需根據題目中的條件求出直線的方程,然后根據直線的方程求得定點……

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