談?wù)劷獯饒A錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種思路

王平 崔小林

圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性，且命題形式多種多樣.解答圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題，通常需靈活運(yùn)用圓錐曲線的方程、定義、幾何性質(zhì)、一元二次方程的判別式、韋達(dá)定理、直線的方程、斜率等.

求解圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題，一般有兩種思路.第一種思路：先從特殊情況入手，確定定點(diǎn)的坐標(biāo)，再證明定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)即可.第二種思路：先從一般情況入手，通過(guò)推理、運(yùn)算，求得定點(diǎn)的坐標(biāo)，或證明定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).

（1）求橢圓C的方程;

（2）如圖，若直線l：x=t（t>2）與x軸交于點(diǎn)T，點(diǎn)P為直線l上異于點(diǎn)T的任意一點(diǎn)，直線PA，PA分別與橢圓C交于M，N點(diǎn).試問(wèn)直線MN是否恒過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：我們根據(jù)題意很難找到特殊的情形，所以無(wú)法從特殊情況入手，需采用第二種思路求解.可根據(jù)題意分別設(shè)出點(diǎn)M、N、直線AM、AN的斜率以及方程，然后將直線的方程與橢圓的方程寐立，得到一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理求得的坐標(biāo)以及直線MN的方程，據(jù)此判斷出直線MN是否恒過(guò)橢圓的焦點(diǎn).

（2）設(shè)M（x，y），N（x，y），直線AM的斜率為k，直線AN的斜率為k，

則直線A₁M方程為y=k（x+2），直線AN的方程為y=k（x-2），

消去y得（1+4k）x+16kx+16k-4=0，

因?yàn)?2和x是方程的兩個(gè)根，

由于P點(diǎn)在直線PA，PA上，尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，

即直線MN與x軸的交點(diǎn)在橢圓C內(nèi).

在判斷直線是否恒過(guò)某一定點(diǎn)（x，y）時(shí)，如果直線的方程明確，則可根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程y-y=k（x-x）或截距式方程y=kx+b來(lái)求得定點(diǎn)的坐標(biāo);如果直線的方程不確定，則需根據(jù)題目中的條件求出直線的方程，然后根據(jù)直線的方程求得定點(diǎn)……