對一道平面向量問題解法的探究

張菊

平面向量是高中數學中的重要板塊.平面向量兼有“數”與“形”的雙重身份，因而解答平面向量問題，可以從不同角度著手，尋找不同的解題思路.本文以一道平面向量問題為例，談一談解答平面向量問題的方法和思路.

解答本題，需首先明確各個點、線段的位置關系，并熟悉直角梯形的性質，抓住中點的特征，借助極化恒等式、坐標法、基底法來求解.

方法一：借助極化恒等式求解

解：如圖2所示，連接EF，設點M為EF的中點，連接AM，

方法二：利用坐標法求解

方法三：采用基底法求解

如果e、e是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ、λ，使a=λe+λe.其中，不共線的向量e、e是表示這一平面內所有向量的一組基底.因而在解答平面向量問題時，可采用基底法，根據圖形的特點和題意選擇一組合適的基底，分別用基底表示出各個向量，再根據三角形法則、平行四邊形法則、數量積公式、模的公式等求得問題的答案.

解：連接AC，如圖4所示，

相比較而言，第一、第二種方法的適用范圍較窄，第一種方法只適用于求解有關兩個向量的積、和、差的運算問題;第二種方法只適用求解易于建立平面直角坐標系的問題.第三種方法的適用范圍較廣，對于一般的平面向量問題，都可采用該方法求解，但運用該方法解題時的運算量較大，并且若選擇的基底不合適，有時會很難順利解題.但無論運用哪種方法求解，都需熟練運用平面向量的運算法則、基本定理.同時適時地運用圖形來輔助解題，可有效地提升解題的效率.