例談運(yùn)用代數(shù)法判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的思路

姜艷

判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的方法主要有代數(shù)法和幾何法.運(yùn)用幾何法來(lái)判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系較為便捷，且運(yùn)算量較小，因而很多同學(xué)習(xí)慣于運(yùn)用幾何法，而忽略了代數(shù)法.下面著重研究一下如何用代數(shù)法判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系.

一、直線與雙曲線的位置關(guān)系

直線與雙曲線的位置關(guān)系有三種：相交（如圖1、2）、相切（如圖3）、相離（如圖4）.當(dāng)直線與雙曲線相交于一點(diǎn)時(shí)，直線與雙曲線的漸近線是平行的.當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，切點(diǎn)是唯一的公共點(diǎn).

二、用代數(shù)法判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的思路

1.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx+m，將直線的方程代入雙曲線的方程中得（b-ak）x- 2akmx-a（m+b）=0（1）.

方程（1）是關(guān)于x的方程，且二次項(xiàng)的系數(shù)中含有參數(shù)，所以此方程可能是一元二次方程，也可能不是.

若b-ak≠0，方程（1）是一元二次方程，它的解有三種情況.當(dāng)△>0時(shí)，方程有2個(gè)解，直線l與雙曲線C相交于兩點(diǎn);當(dāng)△=0時(shí)，方程有1個(gè)解，直線l與雙曲線C相切于一點(diǎn);當(dāng)△<0時(shí)，方程無(wú)解，直線l與雙曲線C相離.

2.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l：x=n，將直線的方程代入雙曲線的方程中得bn-ay=ab（2），方程（2）是關(guān)于y的方程，且y的系數(shù)不等于零，所以方程（2）是關(guān)于y的一元二次方程，它的解有三種情況.當(dāng)△>0時(shí)，方程有2個(gè)解，直線l與雙曲線C相交于兩點(diǎn);當(dāng)△=0時(shí)，方程有1個(gè)解，直線l與雙曲線C相切于一點(diǎn);當(dāng)△<0時(shí)，方程無(wú)解，直線l與雙曲線C相離.

總之，不管直線的斜率存不存在，只要將直線的方程代入到雙曲線的方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，就可以得到一個(gè)關(guān)于x或y的方程，若該方程是一元一次方程，則直線與雙曲線相交于一點(diǎn);若該方程是一元二次方程，則需判斷其判別式△與0之間的關(guān)系.若△>0，則直線與雙曲線相交于兩點(diǎn);若△=0，則直線與雙曲線相切于一點(diǎn)，若△<0，則直線與雙曲線相離.

例題：已知直線l：kx-y+2=0，雙曲線C：x-4y=4，當(dāng)k為何值時(shí)，（1）l與C無(wú)公共點(diǎn)？（2）l與C有唯一的公共點(diǎn)？

分析：（1）l與C無(wú)公共點(diǎn)，即l與C相離，需將直線的方程代入到雙曲線的方程中，得到一元二次方程，使其△<0，且保證二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.（2）l與C有唯一的公共點(diǎn)可能是交點(diǎn)，也可能是切點(diǎn)，需分兩種情況討論.

解：（1）將y=kx+2代入x-4y=4中得（1-4k）x-16kx-20=0，

要使l與C無(wú)公共點(diǎn)，

可見(jiàn)，用代數(shù)法判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系，需注意三點(diǎn)：（1）熟悉直線與雙曲線的三種位置關(guān)系，及其與一元二次方程根的對(duì)應(yīng)關(guān)系;（2）構(gòu)造一元二次方程，討論其二次項(xiàng)的系數(shù)和△;（3）明確直線與雙曲線只有1個(gè)交點(diǎn)包含了兩種情況.