直線與拋物線位置關系的另類判別方法

安徽省阜陽市紅旗中學 張 震 吳冬梅 （郵編：236112）

文［1］、文［2］分別研究了直線與橢圓、雙曲線位置關系的不同判別方法，本文將給出有關直線與拋物線位置關系的另類判別方法.

結論1 直線l：Ax＋By＋C＝0（ABC≠0）拋物線y2＝2px（p≠0）

Ay2＋2pBy＋2pC＝0，

△ ＝（2pB）2－4A·2pC＝4p（pB2－2AC），

結論2 直線l：Ax＋By＋C＝0（ABC≠0），

拋物線x2＝2py（p≠0），

探究結論1和結論2 推廣至一般情況，可得下面結論：

結論3 直線l：Ax＋By＋C＝0（ABC≠0），

（2）直線l與拋物線相交 ?（y1＋y2）（y1－y2）＞－p2；

（3）直線l與拋物線相離 ?（y1＋y2）（y1－y2）＜－p2.

最后聯立直線l與拋物線：

⑤ 代入 ① 式（y1＋y2）（y1－y2）＝－p2，

于是 （1）直線l與拋物線相切 ?△ ＝0?（y1＋y2）（y1－y2）＝－p2；

（2）直線l與拋物線相交 ?△ ＞0?（y1＋y2）（y1－y2）＞－p2；

（3）直線l與拋物線相離 ?△ ＜0?（y1＋y2）（y1－y2）＜－p2.

結論4 直線l：Ax＋By＋C＝0（ABC≠0），

（2）直線l與拋物線相交 ?（x1＋x2）（x1－x2）＞－p2；

（3）直線l與拋物線相離 ?（x1＋x2）（x1－x2）＜－p2.

聯立直線l與拋物線：

⑤ 代入 ①（x1＋x2）（x1－x2）＝－p2

于是 （1）直線l與拋物線相切 ?△ ＝0?（x1＋x2）（x1－x2）＝－p2；

（2）直線l與拋物線相交 ?△ ＞0?（x1＋x2）（x1－x2）＞－p2；

（3）直線l與拋物線相離 ?△ ≤0?（x1＋x2）（x1－x2）＜－p2.

應用舉例

例 當m為何值時，直線l：y＝2x＋m2＋1與拋物線y2＝16x相切、相交、相離.

解法一y＝2x＋m2＋1即2x－y＋m2＋1＝0.這里A＝2，B＝－1，C＝m2＋1.

在拋物線y2＝4x中，p＝8，

解法二y2＝16x，準線l1：x＝－4，直線l2：x＝4，

解得y1＝m2－7及y2＝m2＋9，

所以y1＋y2＝2m2＋2，y1－y2＝－16，

（y1＋y2）（y1－y2）＝－32（m2＋1）.

由結論3：（y1＋y2）（y1－y2）＝－p2，

即－32（m2＋1）＝－64，m2＋1＝2，m＝±1.

當m＝±1時，（y1＋y2）（y1－y2）＝－p2，直線與拋物線相切.

當－1＜m＜1時，（y1＋y2）（y1－y2）＞－p2，直線與拋物線相交.

當m＝＜－1或m＞1時，（y1＋y2）（y1－y2）＜－p2，直線與拋物線相離.

1 晏銀林.直線與橢圓的位置關系的另類判別方法［J］.數學教學，2010（5）：32—33

2 姜坤崇.直線與橢圓、雙曲線的位置關系的又一判別方法［J］.數學教學，2011（1）：36