解法應(yīng)追求“普適性”

安徽省五河一中 張同語 （郵編：233300）

1 一個解題案例

在一節(jié)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上，一位教師出示了這樣一道例題：已知多項式（1＋x）50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50，求a1＋2a2＋3a3＋…＋50a50的值.

讓學(xué)生思考片刻后，教師便在黑板上給出了如下的一個精彩解法：

解 由（1＋x）50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50兩邊對x求導(dǎo)得：

50（1＋x）49＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋50a50x49，再令x＝1得a1＋2a2＋3a3＋…＋50a50＝50×249.

在學(xué)生既驚奇又興奮的時候，教師很快跟進(jìn)補(bǔ)充一道變式題：已知多項式

（1＋x）50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50，求a1＋2a2＋…＋25a25的值，讓學(xué)生思考解答.

從學(xué)生的解答反饋看，非常糟糕，全班只有極少數(shù)幾位做對了，其余同學(xué)幾乎都在模仿老師的解法，求導(dǎo)賦值后，不知如何進(jìn)行下去.

2 學(xué)生為什么“懂而不會”？

學(xué)生之所以“懂而不會”，問題在于教師所給解法屬于巧法，不是該例題的本質(zhì)性解法.筆者認(rèn)為，教師教給學(xué)生的解法是否好，其標(biāo)準(zhǔn)不是看解題是否簡明，奇巧，而應(yīng)該看其解法是否是通性通法，因為只有通性通法才具有普適性，否則，學(xué)生對巧法雖能聽懂，但不一定能真正理解，那么該例題究竟如何講解才符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能讓學(xué)生從容、牢固地掌握呢？

3 解法的調(diào)整

經(jīng)筆者與該教師的商討，該教師在另一個班教學(xué)該例題時，作了如下調(diào)整.

然后讓學(xué)生對比該題所求結(jié)論與這一性質(zhì)的差異（二項式系數(shù)前因數(shù)的差異），通過消除差異，尋求解題的突破口.

那么如何消除差異呢？經(jīng)師生共同討論，得到如下的兩種具有普適性的解法.

受上述兩種解法的啟發(fā)，對于變式題，該班學(xué)生絕大部分都能得到正確結(jié)果50×248（具體解答略），且從解法2中一些學(xué)生還將所求和式中二項式系數(shù)前的因數(shù)推廣到任意一個等差數(shù)列，這種推廣是“求導(dǎo)賦值法”做不到的.

4 感悟

由上述解題案例的分析與思考可以看出，教師對例題的第一次教學(xué)是失敗的！對學(xué)生而言，“求導(dǎo)賦值法”完全是“魔術(shù)師帽子里跑出一個兔子”，只能驚嘆，很難學(xué)會.同時，這種帶強(qiáng)烈技巧性的解法，常常會掩蓋問題的本質(zhì)，誘發(fā)學(xué)生的思維惰性，一旦問題稍加改變，學(xué)生便會束手無策.章建躍先生曾說：“課堂教學(xué)中，如果我們的教學(xué)不能打動學(xué)生，學(xué)生對我們的講解無動于衷，那么他們就不可能有心領(lǐng)神會的心靈共鳴，我們講得再精彩也只能是無功而返.”僅靠巧法來打動學(xué)生，學(xué)生也只能停留在“欣賞”層面，不會產(chǎn)生心領(lǐng)神會的心靈共鳴，最終還是“懂而不會”.只有堅持解法的“普適性”才能使學(xué)生較好地學(xué)會解題、領(lǐng)悟解題，從而達(dá)到舉一反三，融合貫通的效果.

1 章建躍.關(guān)注學(xué)生的感受最重要［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2009（5）