一堂沒有結(jié)尾的復(fù)習(xí)課

安徽省碭山中學(xué) 辛 民 （郵編：235300）

尊重學(xué)生的想法，善待學(xué)生的思維，正確把握教學(xué)契機(jī)，并作出積極的反應(yīng)，是形成高效課堂，提高復(fù)習(xí)效果的有效策略.

1 問題背景

在進(jìn)行重要不等式復(fù)習(xí)時(shí)，課前備課組討論認(rèn)為不等式知識(shí)點(diǎn)多，覆蓋面廣，思想方法內(nèi)涵豐富，應(yīng)用廣泛，作為研究數(shù)學(xué)的重要工具滲透在數(shù)學(xué)的眾多章節(jié)，既是中等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的必要基礎(chǔ)，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一.基于上述認(rèn)識(shí)《重要不等式及應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)，基本過程是師生先共同回憶梳理闡釋常見的基本不等式，精選高考試題說明不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，不料課堂教學(xué)剛剛開始即出現(xiàn)了意想不到的結(jié)果，是收是放、是羈是疏，兩種不同的教育理念的碰撞，肯定是兩種不同教學(xué)結(jié)果.筆者采取了順應(yīng)學(xué)生貼著學(xué)生最近發(fā)展區(qū)探究前行的教學(xué)方法取得了較好的效果，以下展示整個(gè)原生態(tài)教學(xué)過程，與同行共享教育的愉快.

2 教學(xué)過程

師：由于不等式：a2＋b2≥2ab（a，b∈R，a＝b時(shí)取等號(hào)）具有變式多、應(yīng)用廣、內(nèi)涵豐富，因此稱其為重要不等式，今天我們就以它為基礎(chǔ)進(jìn)行展開復(fù)習(xí)，請(qǐng)舉例說明它在數(shù)學(xué)、生活中的應(yīng)用：

生1：直角三角形斜邊長(zhǎng)為定值，等腰三角形的面積最大.

師：如何用數(shù)學(xué)語言說明！

生2：（性格比較內(nèi)向，與同桌小聲交流）直角三角形斜邊為定值時(shí)等腰三角形面積有最大值，自然會(huì)問三角形中一角及對(duì)邊為定值，面積是否存在最大值？如何求？

（教與學(xué)的碰撞，產(chǎn)生思維的火花，稍縱即逝.決定放棄課前的預(yù)設(shè)，順應(yīng)學(xué)生，就此問題探究展開教學(xué)）

師：很好！學(xué)問貴在疑問，有了疑問就能激發(fā)思考，請(qǐng)同學(xué)們利用已有的知識(shí)、展開聯(lián)想解答生2的問題.

生3：既然直角三角形推廣為一般三角形，直角三角形中問題用勾股定理解決，一般三角形可考慮余弦定理，按這一思路我有如下解法：

已知，在ΔABC中，AB＝c，c＞0，∠ACB＝θ，θ∈ （0，π），求ΔABC面積的最大值.

解 如圖，設(shè)BC＝a，AC＝b，由余弦定理得：

所以當(dāng)ΔABC為等腰三角形時(shí)面積最大.

師：利用類比我們既可以發(fā)現(xiàn)問題、也可以解決問題，希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中多思、多想、多問，誰還有想法？

生4：利用正弦定理我不能進(jìn)行到底，但我想此法應(yīng)該行！

至此以下我沒有辦法完成.

師：解決問題遇到障礙時(shí)，重新審視題目挖掘題設(shè)條件，矯正解題思路是掃除障礙順利解答的有效策略，請(qǐng)思考題目中還有沒有條件沒有用？如何用？

生4：題目中定值角度還沒有利用，即α＋β＝π－θ，

師：如何將α、β與α＋β聯(lián)系起來？

生5：（臉上露出微笑）可以！

cos（α－β）－cos（α＋β）＝ 2sinαsinβ得2sinαsinβ≤1＋cosθ（α＝β時(shí)取等號(hào)）

師：解題遇到困難時(shí)，再次審視題目條件、結(jié)論，充分利用條件可以為徹底解決問題增加正能量.

生6：受此啟發(fā)，我利用射影定理得到過程：

解 設(shè)CA＝a，CB＝b，∠CBA＝α，∠CAB＝β由射影定理得：

由于cos（α＋β）＋cos（α－β）＝2cosαcosβ

所以2cosαcosβ≤1－cosθ，不等號(hào)方向相反，無法進(jìn)行下去.

師：題目理解無誤，公式、知識(shí)運(yùn)用正確，結(jié)果出現(xiàn)矛盾，就需要我們重新梳理解題思路，檢查解題的每一步是否合理是否正確.

事實(shí)上，第一次利用重要不等式的條件不具備.但是我們有理由相信既然用正、余弦定理能解決，用射影定理就一定能解決，關(guān)鍵是如何正確的利用射影定理及不等式放縮？

生7：生6解答利用不等式時(shí)不能保證acosα、bcosβ為正值、相等，故運(yùn)用不等式錯(cuò)誤，可作如下變形：

師：充分挖掘題目的隱含條件，保證定理、定義的運(yùn)用的條件滿足，是正確解題的前提.

生8：要求三角形面積的最大值，底邊為定值，只要求點(diǎn)A到直線BC的距離最大值，可得到如下解法：

解 設(shè)∠CBA＝α，∠CAB＝β，點(diǎn)A到BC的距離為d，則c＝d（cotα＋cotβ）

師：很好，由三角形面積等于底乘高，底邊長(zhǎng)為定值，因此只需求高的最大值即可，由此可以看出從原始定義出發(fā)是解決問題的有效方法.

生9：由題設(shè)條件可知，三角形的頂點(diǎn)C可以認(rèn)為是在以AB為弦圓弧上運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，顯然點(diǎn)C在圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三角形的面積最大，此時(shí)三角形為等腰三角形.

師：解法簡(jiǎn)潔、自然，從問題的本質(zhì)出發(fā)是優(yōu)化解題過程的有效策略.

生10：利用向量運(yùn)算我得到了如下解法：

師：多角度、多層面認(rèn)識(shí)問題，是深化問題的理解，優(yōu)化解題過程提高解題能力的重要環(huán)節(jié)，誰還有什么想法？

生11：剛才的問題可以認(rèn)為是對(duì)線段的張角為定值，構(gòu)成三角形面積的最值問題，變換題目條件得到下面問題：

已知：在ΔABC中，AB＝a（a＞0），CB＋CA＝l（l＞0），求ΔABC面積的最大值.

眾生：顯然，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓，當(dāng)點(diǎn)C位于橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)面積最大.

師：?jiǎn)栴}精彩，解答漂亮，充分顯示了我們的聰明智慧.

生12：老師我也有一個(gè)問題：

已知AB＝c，以線段AB為弦弧長(zhǎng)為l，求弓形的面積的最大值.

生13：

師：質(zhì)疑是自主學(xué)習(xí)重要形式，是修正錯(cuò)誤、完善認(rèn)識(shí)重要途徑，主動(dòng)思考是質(zhì)疑的前提，完善認(rèn)識(shí)提高能力是長(zhǎng)期質(zhì)疑的必然結(jié)果.一個(gè)問題兩種解答，孰對(duì)孰錯(cuò)，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真思考！

生15：弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)都確定時(shí)，所在的圓的半徑是唯一確定的值，因此弓形唯一.

事實(shí)上：當(dāng)弓形所在的扇形弧長(zhǎng)小于半圓時(shí)，設(shè)圓的半徑為r，則圓心角的弧度數(shù)為，在ΔOBA中，，即，顯然，由數(shù)形結(jié)合知：有唯一解.

當(dāng)弓形的弧長(zhǎng)大于半圓時(shí)，同樣可以說明.

師：合作、交流，是深化理解形成正確認(rèn)識(shí)、提高能力重要途徑.

生16：老師：我也有一個(gè)問題，

已知：四邊形ABCD一邊AB＝c（c＞0），其他三邊長(zhǎng)的和為l，求四邊形ABCD面積的最大值.

我不能利用已知條件表示四邊形的面積，是否可增加一個(gè)條件，使得四邊形的面積容易表示.

生17：增加一個(gè)條件，將四邊形特殊化，如四邊形ABCD是以AB為底邊的等腰梯形就可以啦.

解 如圖，設(shè)等腰梯形的腰長(zhǎng)為x，則高可表示為

叮—叮—叮—下課鈴響起了.

思緒不得不停，經(jīng)梳理布置如下作業(yè)：

課后請(qǐng)同學(xué)們完成下面的問題，有興趣的同學(xué)請(qǐng)繼續(xù)思考，一般四邊形面積的表達(dá)式；

閱讀數(shù)學(xué)（選修2－1）中類比推理；

幾何證明選講（選修4－1）中的閱讀材料：定長(zhǎng)閉曲線最大面積問題.

3 幾點(diǎn)感悟

（1）真正有效的課堂，不是教師用多快的速度把一個(gè)完整的知識(shí)體系呈現(xiàn)給學(xué)生，而是通過基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)豐富學(xué)生的思維方法、理解基本原理和核心概念，在學(xué)生的需要處自然地設(shè)置學(xué)生要學(xué)的問題，捕捉偶發(fā)的教育契機(jī)與智慧的火花，并做積極地回應(yīng)，在教學(xué)的開始為了解學(xué)生對(duì)定理的理解程度，設(shè)計(jì)“試舉例說明重要不等式在數(shù)學(xué)生活中應(yīng)用”的問題，思維起點(diǎn)低，方向明確，順應(yīng)學(xué)生思維的形成與發(fā)展規(guī)律，引起了學(xué)生的思維共鳴使學(xué)生產(chǎn)生問題意識(shí)，激發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)的沖動(dòng)性和思維的活躍性，有利于學(xué)生從本質(zhì)和源頭上理解知識(shí)，讓探究的思路自然、流暢.

（2）高三復(fù)習(xí)不同于新課學(xué)習(xí)、章節(jié)的復(fù)習(xí)，是學(xué)生站在高中數(shù)學(xué)整體高度上“二次學(xué)習(xí)”，學(xué)生已具備了較豐富的知識(shí)，初步具有了一定數(shù)學(xué)思考能力，這為教師引導(dǎo)學(xué)生探究問題提供了有利條件.但是如何讓學(xué)生自然地投入到自主學(xué)習(xí)之中，不斷地在愉悅的學(xué)習(xí)過程中體驗(yàn)成功的樂趣，從而使學(xué)習(xí)變得輕松自在，顯然教師的適時(shí)引導(dǎo)、指導(dǎo)是十分必要的，筆者認(rèn)為，在起始階段設(shè)置恰當(dāng)問題，引入話題，在思維受阻適時(shí)疏導(dǎo)（如生4、7等），在關(guān)鍵處給予引導(dǎo)，在方法技能上實(shí)行指導(dǎo)，不斷的引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生的思維自然而然地投入到探究學(xué)習(xí)之中.

（3）數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，并不是讓學(xué)生記住多少知識(shí)，而重要的是能夠使他們自然領(lǐng)悟到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法及人生哲理.本節(jié)課學(xué)習(xí)過程以學(xué)生為中心、以問題為線索，始終以“發(fā)現(xiàn)、解決、再發(fā)現(xiàn)、再解決”牽動(dòng)學(xué)生的思維，使他們親身經(jīng)歷了問題的探究過程，深刻領(lǐng)悟科學(xué)的研究方法，使學(xué)生在理解、掌握知識(shí)的同時(shí)，開放知識(shí)、質(zhì)疑知識(shí)、批判知識(shí)、探究知識(shí)、反思知識(shí)、創(chuàng)新知識(shí)，從而獲得智慧的力量，感受到了知識(shí)發(fā)展的迂回曲折，有利于求實(shí)、說理、批判、質(zhì)疑等理性思維的培養(yǎng)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

本節(jié)課雖沒有按照課前的預(yù)設(shè)完成教學(xué)任務(wù)，但是在學(xué)生思維的深處留下的痕跡是課前無法預(yù)知的，正如章建躍博士說，課堂教學(xué)中，如果我們的教學(xué)不能打動(dòng)學(xué)生，學(xué)生對(duì)我們的教學(xué)無動(dòng)于衷，那么他們就不可能心領(lǐng)神會(huì)的心靈共鳴，我們講得再精彩也只能無功而返.