圖像的平移規律 在拋物線中的應用

華騰飛

二次函數的平移題型主要有兩種：一是已知拋物線的解析式和平移的單位與方向，求平移的后的解析式；二是已知拋物線與經過平移后得到的拋物線解析式，要求說明平移的單位和方向. 求解此類問題的關鍵是，能夠分別從函數的解析式與平移的單位和方向入手，從中找到一般規律，即圖像的平移實質上就是頂點的平移. 為了使同學們熟練掌握求解此類問題的能力，下面舉例分析.

例1 把拋物線y = - 2x2向上平移1個單位，得到的拋物線是（ ）

A. y =- 2（x+1）2 B.y=-2（x–1）2 C.y =-2x2 + 1 D.y =-2x2 –1

解析 將拋物線向上平移，說明拋物線沿y軸向上移動. 因此把拋物線y = - 2x2向上平移1個單位，得到的拋物線是y = - 2x2 + 1. 應選C.

例2 已知拋物線y = x2 – 4x + 1，將該拋物線沿x軸方向向左平移4個單位長度，得到一新拋物線，求平移后的拋物線的解析式.

解析 要求將拋物線y = x2-4x + 1，將該拋物線沿x軸方向向左平移后的解析式，可先將y = x2– 4x + 1通過配方，使之變成頂點式，然后再由拋物線沿x軸方向向左平移的圖像特征便可求得.

將y = x2 –4x + 1配方，得y =（x – 2）2 –3，向左平移4個單位長度，得y = （x + 2）2 -3. 故平移后所得的拋物線的解析式為：y = x2 + 4x + 1.

例3 將拋物線y =2x2 -4x + 5先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，求平移后所得拋物線的解析式.

解析 要求平移后的拋物線解析式，首先將y = 2x2 -4x + 5配方，確定其頂點坐標，然后根據平移的單位和方向求出平移后所得拋物線的頂點坐標，即可求得平移后的拋物線的解析式.

因為y = 2x2-4x + 5 = 2（x–1）2 + 3，其頂點坐標為（1， 3），所以平移后的拋物線的頂點坐標是（1 + 3， 3 – 2），即（4， 1），故此平移后的拋物線的解析式為y = 2（x-4）2 + 1，即y = 2x2-16x + 33.

從以上幾例的求解過程可見，拋物線在坐標平面內實施平移變換時，其位置發生了改變，但其形狀和開口方向不變，即a不變. 具體說來，就是拋物線的平移規律是通過其頂點式來判斷，即拋物線y = a（x – h）2 + k，當h增大時，圖像向右平移；當h減小時，圖像向左平移；當k增大時，圖像向上平移；當k減小時，圖像向下平移. 反過來也成立.

練習

1. 二次函數y =x2+3X+的圖像是由函數y =x2的圖像先向____平移____個單位，再向____平移____個單位得到的.

2. 把二次函數y = 3x2的圖像向左平移2個單位，再向上平移1個單位，所得到的圖像對應的二次函數解析式是（ ）

A. y = 3（x – 2）2 + 1

B. y = 3（x + 2）2 - 1

C. y = 3（x – 2）2 - 1

D. y = 3（x + 2）2 + 1

答案

1. 左，3，下，2；2.D

（作者單位：安徽省靈璧縣黃灣中學）