圖像的平移規(guī)律 在拋物線中的應(yīng)用

華騰飛

二次函數(shù)的平移題型主要有兩種：一是已知拋物線的解析式和平移的單位與方向，求平移的后的解析式；二是已知拋物線與經(jīng)過(guò)平移后得到的拋物線解析式，要求說(shuō)明平移的單位和方向. 求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是，能夠分別從函數(shù)的解析式與平移的單位和方向入手，從中找到一般規(guī)律，即圖像的平移實(shí)質(zhì)上就是頂點(diǎn)的平移. 為了使同學(xué)們熟練掌握求解此類(lèi)問(wèn)題的能力，下面舉例分析.

例1 把拋物線y = - 2x2向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線是（ ）

A. y =- 2（x+1）2 B.y=-2（x–1）2 C.y =-2x2 + 1 D.y =-2x2 –1

解析 將拋物線向上平移，說(shuō)明拋物線沿y軸向上移動(dòng). 因此把拋物線y = - 2x2向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線是y = - 2x2 + 1. 應(yīng)選C.

例2 已知拋物線y = x2 – 4x + 1，將該拋物線沿x軸方向向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一新拋物線，求平移后的拋物線的解析式.

解析 要求將拋物線y = x2-4x + 1，將該拋物線沿x軸方向向左平移后的解析式，可先將y = x2– 4x + 1通過(guò)配方，使之變成頂點(diǎn)式，然后再由拋物線沿x軸方向向左平移的圖像特征便可求得.

將y = x2 –4x + 1配方，得y =（x – 2）2 –3，向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得y = （x + 2）2 -3. 故平移后所得的拋物線的解析式為：y = x2 + 4x + 1.

例3 將拋物線y =2x2 -4x + 5先向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，求平移后所得拋物線的解析式.

解析 要求平移后的拋物線解析式，首先將y = 2x2 -4x + 5配方，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的單位和方向求出平移后所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得平移后的拋物線的解析式.

因?yàn)閥 = 2x2-4x + 5 = 2（x–1）2 + 3，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1， 3），所以平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1 + 3， 3 – 2），即（4， 1），故此平移后的拋物線的解析式為y = 2（x-4）2 + 1，即y = 2x2-16x + 33.

從以上幾例的求解過(guò)程可見(jiàn)，拋物線在坐標(biāo)平面內(nèi)實(shí)施平移變換時(shí)，其位置發(fā)生了改變，但其形狀和開(kāi)口方向不變，即a不變. 具體說(shuō)來(lái)，就是拋物線的平移規(guī)律是通過(guò)其頂點(diǎn)式來(lái)判斷，即拋物線y = a（x – h）2 + k，當(dāng)h增大時(shí)，圖像向右平移；當(dāng)h減小時(shí)，圖像向左平移；當(dāng)k增大時(shí)，圖像向上平移；當(dāng)k減小時(shí)，圖像向下平移. 反過(guò)來(lái)也成立.

練習(xí)

1. 二次函數(shù)y =x2+3X+的圖像是由函數(shù)y =x2的圖像先向____平移____個(gè)單位，再向____平移____個(gè)單位得到的.

2. 把二次函數(shù)y = 3x2的圖像向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所得到的圖像對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式是（ ）

A. y = 3（x – 2）2 + 1

B. y = 3（x + 2）2 - 1

C. y = 3（x – 2）2 - 1

D. y = 3（x + 2）2 + 1

答案

1. 左，3，下，2；2.D

（作者單位：安徽省靈璧縣黃灣中學(xué)）