拋物線內(nèi)切伴隨圓族的方程及性質(zhì)

田穎輝

(阜新高等專科學(xué)校，遼寧阜新123000)

曲線的伴隨圓是指與曲線相關(guān)的圓.文獻［1］探討了拋物線的一類伴隨圓——內(nèi)切圓族的方程和性質(zhì).在此基礎(chǔ)上，筆者對拋物線y2=2px(p＞0)的內(nèi)切伴隨圓族的方程與性質(zhì)進行了進一步的探討，得到了一些結(jié)論.

1 相關(guān)定義

1.1 內(nèi)切圓

在拋物線的內(nèi)部，與拋物線有且只有一個交點的圓，叫做拋物線的內(nèi)切圓(圖1).

1.2 內(nèi)切圓族

與拋物線內(nèi)切，且具有共性的一族圓稱為拋物線的內(nèi)切圓族(圖1).

2 相切于一點的內(nèi)切圓族

圖1 內(nèi)切圓與內(nèi)切圓族

圖2 引理1內(nèi)切圓族

引理1［1］設(shè)拋物線C的方程為y2=2px(p＞0)，設(shè)M(x0，y0)是拋物線上的一點，則與拋物線內(nèi)切圓族的方程為(x－p－x0)2+y2=p2+2px0(x0是參數(shù)，x0≥0)，其圓心軌跡為以(p，0)為端點且與x軸正方向同向的射線.

引理中所描述的內(nèi)切圓族情形如圖2所示.

由引理1可知，對于拋物線上的固定點M(x0，y0)，其內(nèi)切圓為(x－p－x0)2+y2=p2+2px0(x0≥0)，點(x0，y0)關(guān)于x軸的對稱點為(x0，－y0)也在圓上，顯然，該圓是內(nèi)切于M(x0，y0)的圓中最大的內(nèi)切圓.

定理1 設(shè)拋物線C:y2=2px(p＞0)，內(nèi)切于拋物線上的定點M(x0，y0)的最大內(nèi)切圓為

在圓(Ⅰ)內(nèi)部可作一系列與點M(x0，y0)相切的圓，顯然這些圓都是拋物線的內(nèi)切圓，它們構(gòu)成了一類拋物線的內(nèi)切伴隨圓族(圖3).

圖3 定理1拋物線的內(nèi)切伴隨圓族

圖4 推論3內(nèi)切伴隨圓族

推論1 與拋物線C:y2=2px(p＞0)相切于拋物線上的定點M(x0，y0)的內(nèi)切伴隨圓族的圓心軌跡為線段MN(去掉端點M)，其中N(x0+p，0)(圖3).

令x0=0，則y0=0，即此時M點為拋物線的頂點(0，0)，由此得如下結(jié)論.

推論2 與拋物線C:y2=2px(p＞0)相切與頂點的最大內(nèi)切伴隨圓為(x－p)2+y2=p2.

推論3 與拋物線C:y2=2px(p＞0)相切與頂點的內(nèi)切伴隨圓族的方程為(x－a)2+y2=a2(0＜a≤p)(圖4).

3 以定長為半徑的內(nèi)切伴隨圓族

拋物線C:y2=2px(p＞0)的最大內(nèi)切圓族中最小的一個圓的半徑為p，這里僅取定長r(0＜r≤p)為半徑作拋物線的內(nèi)切伴隨圓.當該圓沿拋物線內(nèi)側(cè)移動時，這些圓是拋物線的一類內(nèi)切伴隨圓族.

定理2 半徑為定長r(0＜r≤p)，與拋物線C:y2=2px(p＞0)內(nèi)切伴隨的圓族的圓心方程為

證明 設(shè)拋物線C的參數(shù)方程為

定長為r(0 ＜ r≤p)，圓心為(x0，y0)的圓方程為(x－x0)2+(y－y0)=r2，與拋物線C內(nèi)切于點(x1，y1).過點(x1，y1)與拋物線相切的直線的斜率為k=y'=，則

解方程組得

由于內(nèi)切圓心位于拋物線內(nèi)，且在過切點(x1，y1)的法線上，所以x0＞x1將x1=2pt2，y1=2pt代入上式，最終得到定長為r的內(nèi)切伴隨圓的圓心參數(shù)方程

其圓心軌跡是夾在拋物線y2=2px(p＞0)與拋物線y2=2(p－r)x間的類似拋物線(p＞0，0＜r≤p)，隨著r的增減在兩拋物線間伸縮(圖5，圖6).

圖6 拋物線的一類內(nèi)切伴隨圓族隨著r減小的圓心軌跡

圖5 拋物線的一類內(nèi)切伴隨圓族隨著r增加的圓心軌跡

［1］劉耀斌，顧越嶺.拋物線的伴隨圓系及其性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通報，2007，46(3):38 －40.

［2］梁雙鳳，李寶榮，梁林.橢圓的內(nèi)切圓與曲率圓的方程及圖像研究［J］.玉溪師范學(xué)院學(xué)報，2010，26(8):8－13.