由二次函數拋物線引發的思考

張立剛 段曉曉

一、拋物線天下一家

解析幾何中，方程y2=2px的圖形稱拋物線；函數中，二次函數y=ax2的圖象也稱拋物線.于是發問：這兩種拋物線是一家人嗎？

【例1】二次函數y=14x2+1的圖象如下：

試探索，平面上是否存在這樣的定直線l和定點F，使得圖象上任何一點P（x，y），到F的距離與到l的距離相等？

【解答】（配方法）由等式y=14x2+1兩邊乘以4并移項：x2-4y+4=0，

兩邊同時加上y2，得x2+（y-2）2=y2，

兩邊開平方，同取算術根，得14x2=|y| （※）

用距離公式看待式子（※），此式表明：拋物線上動點P（x，y）到定點F（0，2）的距離與到定直線y=0的距離相等.

【說明】二次函數y=14x2+1的圖象可視為：到定點（0，2）與定直線y=0的點的軌跡（集合）.看來，二次函數的圖象與二次方程y2=2px的圖形是同一家人.

【另解】（標準方程法）由y=14x2+1得x2=4（y-4），

它是拋物線x′ 2=4y′ 2上移1個單位的結果，后者的焦點數P=2，焦點F（0，1），準線l′ 為y=-1.

上移1個單位后， 的焦點為F（0，2），準線為y=0.

【說明】二次函數的圖象只是拋物線圖形的一種特殊形式（開口向上或向下），它統一于拋物線的共性之中：到定點（焦點）和定直線（準線）距離相等的點的軌跡（集合）.

二、拋物線全族相似

拋物線y2=2x有些特殊，焦參數——焦點F到準線l的距離P=1，焦點到頂點距離為P2=12，頂點到準線的距離也是P2=12.

像單位圓一樣，有人稱這種拋物線為“單位拋物線”，

當x=P2=12時，得拋物線的垂直焦半徑|FP|=|y|=1.

垂直焦半徑端點P到頂點O的距離為|OP|=62，它是拋物線的一條特殊的頂點弦.

有了這些，我們可以研究拋物線族y2=2px與單位拋物線y2=2x的關系.

從作圖可知，拋物線y2=4x由拋物線y2=2x放縮而得，或者說它們相似，相似比λ=OTOQ=P=2.

不難發現，拋物線族y2=2px中每條拋物線都與單位拋物線y2=2x相似，相似比為λ=P1=P，相似中心是頂點O.

三、通徑拋物線最短的焦徑

連結拋物線上任意兩點間的線段稱作拋物線的弦，過焦點的弦稱作拋物線的焦徑.

和圓不一樣，圓的直徑長是個常數，而拋物線的焦徑則是個變數.

直觀地，拋物線的焦徑可以增到無窮大，因此，拋物線的焦徑無最大值.那么，拋物線的焦徑有最小值嗎？

【例3】設拋物線x2=2py的焦點為F（0，P2），P1P2是拋物線的一條焦徑，求|P1P2|的取值范圍.

【解答】（解析法）設P1P2的點斜式方程為y-P2=kx，

聯立 ，x2=2py

y-P2=kx

得x2-2pkx-p2=0→x1+x2=2pk，x1x2=-p2，

|P1P2|=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2

=1+k2·（2pk）2+4p2

=（1+k2）·2p≥2p.

等號成立條件是k=0.

|P1P2|的最小值為2p，值域為[2p，+∞）.

【說明】當k=0時，焦徑P1P2垂直于y軸，成為拋物線的通徑，因此，通徑是拋物線最短焦徑.

四、焦半徑誰的增函數

連結拋物線（y2=2px）上一點和焦點的線段稱拋物線的焦半徑.注意，焦半徑不一定是焦徑的一半，除非焦徑是通徑.

直觀地，焦半徑的長度可以增向無窮大，因此無最大值.那么，拋物線的焦半徑應該有最小值.這個最小值是通徑的一半嗎？

【例4】探求拋物線y2=2px焦半徑的取值范圍.

【解答】設焦半徑的端點為P（x，y），則有|PF|=（x-p2）2+y2

利用y2=2px消去y，得|PF|=（x-p2）2+2px=（x+p2）2=p2+x .

當x→∞，|PF|→∞；當x=0時，得|PF|的最小值為p2.

故y2=2px焦半徑的取值范圍為[p2，0）.

【說明】拋物線y2=2px的焦半徑公式r焦=p2+x，表明焦半徑是橫坐標x 的一次函數，且在[0，+∞）上遞增.

特別地，x=p2時，|PF|=p2+p2=p，即拋物線y2=2px的通半徑長為p.

x=0時，焦半徑得到最小值p2.

注意，在拋物線y2=-2px中，焦半徑是x 的減函數：r 焦=p2-x.

同理，在x2=2py中，焦半徑是y 的增函數：r 焦=p2+y；在x2=-2py中，焦半徑是y的減函數：r 焦=p2-y.

（作者單位：山東省淄博第七中學）