如何運用導數解決含參函數問題的研究

黃清鵬

【內容摘要】導數的學習和解決方法的掌握，不僅是高中數學重要的組成部分，在高考中也是作為考試的考查重點。含參函數問題主要是以函數為載體，運用導數工具來解決這一類問題，這是一種方法，主要是考查函數性質，促進學生深入研究和分析導數和更好地應用導數。因此，運用導數解決含參函數問題，必須把握好最近幾年函數命題的規律，深入了解和分析導數的性質和應用，結合試題特點和命題趨向的同時，要充分運用導數來解決含參函數問題。要把握好導數的性質，根據導數來求出含參數函數問題中參數的取值范圍，這種求存在性問題是常考的范圍，也是常規的解題思路，通過等價轉化將復雜的數學思想進行簡單轉化，有利于將學生不熟悉、復雜的問題簡單化，進而變為他們熟悉、規范和簡單的含參函數問題。運用導數解決含參函數問題，對提高學生對導數性質認識和創新方法與思路去解決含參函數問題具有極強的指導意義。

【關鍵詞】含參函數問題導數數學

歷年高考試題中常常出現含參函數問題，這考察的不僅是學生對含參函數問題的解決能力，也是學生解題思路的一種培養。常用的解題方法就是導數求解法。實際上，學生對這類含參函數問題比較頭疼和恐懼，因為此類問題涉及的數學知識內容多、面廣，具有極強的綜合性。學生面對這類問題時，不知道如何確定參數范圍，也不知道所包括的函數關系或不等關系是怎么來的。含參函數問題以函數為載體，對學生函數性質及導數應用的考察要求較為嚴格，也是近些年高考數學命題的趨向。實際上，運用導數解決含參數函數問題，求參數取值范圍，作為探索性問題對于數學解題來說非常常見，通過等價轉化來把握住數學思想，就可以將這些復雜的數學問題轉化成為學生熟悉的、規范的和簡單的問題。運用導數解決含參函數問題，就是基于不等式的結構特征，把握好含參數不等式的存在性，適當構造函數，來探討含參函數的最值，利用導數就可以求出范圍。

一、運用導數解決含參函數問題的相關分析

運用導數解決含參函數問題，對于學生來說既是數學學習的重點和難點，也是數學教師教學的重點和難點，同時它作為高考的熱點又不得不進行學習。這類問題的解決引起了師生廣泛的關注，主要是用來考查學生對導數的運用能力，判斷學生對函數與方程思想、數形結合思想等思想的掌握程度和理解能力。在一定程度上，這不僅是新課程理念的要求，也是提高學生數學知識實際應用的重要途徑，要充分把握含參函數問題的復雜性，有針對性地解決才可以。

運用導數解決含參函數問題，要構建科學的知識目標、能力目標、情感目標，把握好教學重點，引導學生創新學習思路。學生運用導數解決含參函數問題，就必須掌握“利用導數求函數單調區間、極值、最值”的方法，深入研究和理解這個過程中極值、最值之間的區別與聯系，實現數形結合、化歸等數學思想在問題中的滲透，在問題解決中培養數形結合能力，促進學生形成化歸意識，著力通過此類問題激發學生創造性潛能，深入學習函數單調性與數形結合的一系列問題，并增強學生對數學知識簡約美的體驗和感受，在極值、最值中不斷探索，激發學生“學好數學”的興趣和信心。

對于“含參函數”問題來說，主要思路包括以下集中：

1、“已知函數的切線，利用導數求出參數的值”；

2、“已知函數的單調性，利用導數求出參數范圍”；

3、“已知函數的最值，利用導數求出參數范圍”；

4、“已知函數的極值，利用導數求出參數范圍”；

5、“利用導數解決含參函數中的恒成立問題”。

本文將選擇幾種進行案例演示，充分闡述運用導數解決含參函數問題的思路。

二、 已知函數切線求參數值問題

對于已知函數切線求參數值這一類問題，學生要把握好導數的幾何意義，要想方設法簡化原問題，促進復雜問題簡單化，將這類問題變為學生自己熟悉的問題，再進一步求解算出參數值。 但是，我們都知道數學深奧，具有極強的復雜性，同一個數學問題可以以千變萬化的形式出現，形式多樣的參數問題同樣有千變萬化和靈活多變的方法來解決，對于這類技巧性較強的問題學生必須學會以不變應萬變。拿到題目不要急于解題，而是深入研究和分析題目想考察的內容，確定好研究思路，把握好題目的具體題設條件和不等式的結構特征，學會從多個角度、方向對這類問題進行分析探討，才能選擇適當的方法，從而快速準確地解答這類問題。數學解題中各種方法又是相互融合的，具有一定的關系，要摸清楚參數問題的考察內容，掌握基本題型，綜合運用各種解題方法，對學生問題分析和解決能力的培養也具有積極的作用。

例1. （2016湖北高考模擬卷試卷）已知函數f（x）=x3+ax+b的圖象是曲線C，直線y=kx+1與曲線C相切于點（1，3）.

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）求函數f（x）的遞增區間；

（3）求函數F（x）=f（x）-2x-3在區間[0，2]上的最大值和最小值.

解答：（1） ∵切點為（1，3），∴k+1=3，得k=2.∵f′（x）=3x2+a，∴f′（1）=3+a=2，得a=-1.則f（x）=x3-x+b.由f（1）=3得b=3.∴f（x）=x3-x+3.

（2） 由f（x）=x3-x+3得f′（x）=3x2-1，令f′（x）=3x2-1>0，

解得x<-33或x>33

∴函數f（x）的增區間為（-∞，-33），（33，+∞）.

（3） F（x）=x3-3x，F′（x）=3x2-3令F′（x）=3x2-3=0，得x1=-1，x2=1.列出x，F′（x），根據F（x）關系

∴當x∈[0，2]時，F（x）的最大值為2，最小值為-2.

這是我們已經知道了函數切線方程，相應地我們就知道切線斜率，利用導數方法，主要是需要求出切點坐標，或者是利用導數方法求出曲線中的未知參數，把握曲線其他性質的同時，就可以列出方程，進一步求得切點坐標和參數的值。

三、 已知函數單調性求參數范圍的問題

在數學中已知等式恒成立來求相關的參數，這一類問題非常常見，廣泛出現于高中各類考試中，也深受高考命題專家“青睞”。我們在解答這類問題的過程中，要學會利用導數知識對其巧妙求解，這也需要學生具有較高的導數思維和應用意識。

結束語

實際上，利用導數解決含參函數問題，主要思路是萬變不離其宗的，但是數學博大精深，同樣一個問題可以以千變萬化的形式出現，但是只要掌握基本的方法和思路，就可以靈活多變的運用導數來解決這一類問題。還需要把握好一個基本原則，就是將復雜的、我們不熟悉的含參函數問題簡單化，通過一定的思路變成我們熟悉的、常見的和簡單的問題，無論是哪種形式出現，我們都可以快速解答求出答案。

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（作者單位：福建省南安市新僑中學）