從一道模擬題談拋物線與其根軸圓的位置關系

福建省仙游縣華僑中學 (351251) 嚴志偉

1.試題呈現

如圖1,拋物線y2=8x與動圓M:(x-8)2+y2=r2(r>0)交于A,B,C,D四個不同點.(1)求r的取值范圍;(2)略.

2.探究一般性結論

對于一般的拋物線C:y2=2px(p>0),動圓M:(x-a)2+y2=r2(r>0),有什么類似的結論?

若a-p≤0,即a≤p,則當x=0時,|PM|取最小值|a|.這時若r=|a|,則拋物線C圓與圓M相切于頂點,且這兩曲線有且僅有這一個公共點;

命題1 拋物線C:y2=2px(p>0)與動圓M:(x-a)2+y2=a2(a≤p)相切于原點,且無其他公共點;拋物線C:y2=2px(p>0)與動圓M:(x-a)2+y2=2ap-p2(a>p)相切于兩點,兩切點的橫坐標都是a-p,且無其他公共點.

由此容易得到

推論1 對于拋物線C:y2=2px(p>0)和動圓M:(x-a)2+y2=r2,

1. 若a≤p,則

(1)r<|a|?拋物線C與動圓M有0個公共點;

(2)r>|a|?拋物線C與動圓M有2個公共點(均為非切點).

2. 若a>p,則

(2)r>a?拋物線C與動圓M有2個公共點(均為非切點);

(3)r=a?拋物線C與動圓M有3個公共點(1個切點,即原點,2個非切點);

類似地,有

命題2 拋物線C:x2=2py(p>0)與動圓M:x2+(y-b)2=b2(b≤p)相切于原點,且無其他公共點;拋物線C:x2=2py(p>0)與動圓M:x2+(y-b)2=2bp-p2(b>p)相切于兩點,兩切點的縱坐標都是b-p,且無其他公共點.

推論1 對于拋物線C:x2=2py(p>0)和動圓M:x2+(y-b)2=r2,

1.若b≤p,則

(1)r<|b|?拋物線C與動圓M有0個公共點;

(2)r>|b|?拋物線C與動圓M有2個公共點(均為非切點);

2.若b>p,則

(2)r>b?拋物線C與動圓M有2個公共點(均為非切點).

(3)r=b?拋物線C與動圓M有3個公共點(1個切點即原點,2個非切點);

3.探究結論的應用

上述結論揭示了拋物線與其根軸圓的位置關系.應用之可簡捷解決有關的試題及數學問題.

例2 (2011年全國高考重慶卷)設圓C位于拋物線y2=2x與直線x=3所圍成的封閉區域(包含邊界)內,則圓C的半徑能取到的最大值為________．

例3 若酒杯的軸截面為拋物面,其邊界的方程為x2=4y,一個半徑為r的小球置于酒杯中,當r的范圍為多少時,球可觸及酒杯底部?

簡析：本題實質上是求拋物線x2=4y與圓x2+(y-b)2=r2(b>0)相切于拋物線的頂點(坐標原點)且無其他公共點時r的范圍.據命題2,r=b>0且b≤p=2,即0

例4 (1983年全國高中數學聯賽試題)設M={(x,y)|y≥x2},N={(x·y)|x2+(y-b)2≤1}且M∩N=N,求實數b的取值范圍.

例5 (日本中央大學自主招生試題)求拋物線x2=y與圓x2+(y-b)2=16公共點的個數.