從一道模擬題談拋物線與其根軸圓的位置關(guān)系

福建省仙游縣華僑中學(xué) (351251) 嚴(yán)志偉

1.試題呈現(xiàn)

如圖1,拋物線y2=8x與動(dòng)圓M:(x-8)2+y2=r2(r>0)交于A,B,C,D四個(gè)不同點(diǎn).(1)求r的取值范圍;(2)略.

2.探究一般性結(jié)論

對(duì)于一般的拋物線C:y2=2px(p>0),動(dòng)圓M:(x-a)2+y2=r2(r>0),有什么類似的結(jié)論?

若a-p≤0,即a≤p,則當(dāng)x=0時(shí),|PM|取最小值|a|.這時(shí)若r=|a|,則拋物線C圓與圓M相切于頂點(diǎn),且這兩曲線有且僅有這一個(gè)公共點(diǎn);

命題1 拋物線C:y2=2px(p>0)與動(dòng)圓M:(x-a)2+y2=a2(a≤p)相切于原點(diǎn),且無(wú)其他公共點(diǎn);拋物線C:y2=2px(p>0)與動(dòng)圓M:(x-a)2+y2=2ap-p2(a>p)相切于兩點(diǎn),兩切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是a-p,且無(wú)其他公共點(diǎn).

由此容易得到

推論1 對(duì)于拋物線C:y2=2px(p>0)和動(dòng)圓M:(x-a)2+y2=r2,

1. 若a≤p,則

(1)r<|a|?拋物線C與動(dòng)圓M有0個(gè)公共點(diǎn);

(2)r>|a|?拋物線C與動(dòng)圓M有2個(gè)公共點(diǎn)(均為非切點(diǎn)).

2. 若a>p,則

(2)r>a?拋物線C與動(dòng)圓M有2個(gè)公共點(diǎn)(均為非切點(diǎn));

(3)r=a?拋物線C與動(dòng)圓M有3個(gè)公共點(diǎn)(1個(gè)切點(diǎn),即原點(diǎn),2個(gè)非切點(diǎn));

類似地,有

命題2 拋物線C:x2=2py(p>0)與動(dòng)圓M:x2+(y-b)2=b2(b≤p)相切于原點(diǎn),且無(wú)其他公共點(diǎn);拋物線C:x2=2py(p>0)與動(dòng)圓M:x2+(y-b)2=2bp-p2(b>p)相切于兩點(diǎn),兩切點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是b-p,且無(wú)其他公共點(diǎn).

推論1 對(duì)于拋物線C:x2=2py(p>0)和動(dòng)圓M:x2+(y-b)2=r2,

1.若b≤p,則

(1)r<|b|?拋物線C與動(dòng)圓M有0個(gè)公共點(diǎn);

(2)r>|b|?拋物線C與動(dòng)圓M有2個(gè)公共點(diǎn)(均為非切點(diǎn));

2.若b>p,則

(2)r>b?拋物線C與動(dòng)圓M有2個(gè)公共點(diǎn)(均為非切點(diǎn)).

(3)r=b?拋物線C與動(dòng)圓M有3個(gè)公共點(diǎn)(1個(gè)切點(diǎn)即原點(diǎn),2個(gè)非切點(diǎn));

3.探究結(jié)論的應(yīng)用

上述結(jié)論揭示了拋物線與其根軸圓的位置關(guān)系.應(yīng)用之可簡(jiǎn)捷解決有關(guān)的試題及數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例2 (2011年全國(guó)高考重慶卷)設(shè)圓C位于拋物線y2=2x與直線x=3所圍成的封閉區(qū)域(包含邊界)內(nèi),則圓C的半徑能取到的最大值為_(kāi)_______．

例3 若酒杯的軸截面為拋物面,其邊界的方程為x2=4y,一個(gè)半徑為r的小球置于酒杯中,當(dāng)r的范圍為多少時(shí),球可觸及酒杯底部?

簡(jiǎn)析：本題實(shí)質(zhì)上是求拋物線x2=4y與圓x2+(y-b)2=r2(b>0)相切于拋物線的頂點(diǎn)(坐標(biāo)原點(diǎn))且無(wú)其他公共點(diǎn)時(shí)r的范圍.據(jù)命題2,r=b>0且b≤p=2,即0

例4 (1983年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)設(shè)M={(x,y)|y≥x2},N={(x·y)|x2+(y-b)2≤1}且M∩N=N,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

例5 (日本中央大學(xué)自主招生試題)求拋物線x2=y與圓x2+(y-b)2=16公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).