從競賽視角探究一道征解題

重慶市兩江中學校 (401120) 彭 鋒 鄧元潔

《數(shù)學通訊》(上半月刊)2022年第10期問題征解第573題隱含了一個經(jīng)典的競賽不等式,本文從競賽的視角對這道征解題的變式作了深入地探究,最后給出了三個推廣.

這是一個分式不等式,左邊各項的分子與分母分別是2次、3次單項式,只要稍加變形,就會利用柯西不等式獲證.

如果把不等式(1)右邊分母中的(a+b+c)分別放到左邊各項的分子,展開后與分母進行重組,那么利用權方和不等式即可獲證.

不等式(1)隱含了一個經(jīng)典的競賽不等式,由此引發(fā)筆者聯(lián)想到歷屆有關的競賽不等式,從而對不等式(1)的變式加以探究,得到下面的問題.

點評：如果直接用權方和不等式,得到

即不等式(6)成立.

點評：從問題2到問題6,分別隱含了2002年加拿大數(shù)學奧林匹克不等式競賽題,1995年第36屆國際數(shù)學奧林匹克不等式競賽題,2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽陜西賽區(qū)預賽不等式競賽題,2011年克羅地亞數(shù)學奧林匹克不等式競賽題,2022年塞爾維亞數(shù)學奧林匹克不等式競賽題,由此從某種意義上進一步揭示了這些經(jīng)典的競賽不等式之間的內在聯(lián)想.

把問題1推廣,可以得到

推廣1 已知a,b,c,m是正數(shù),求證:

推廣2 已知a,b,c,n是正數(shù),求證:

推廣3 已知a,b,c,m,n是正數(shù),求證:

同推廣2可證.