一道解三角形質檢試題的探究*

福建教育學院數學研修部 (350025)福建教育學院數學教育研究所 (350025) 蔡海濤

一、試題呈現

本題以三角形問題為載體,主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力等,考查化歸與轉化思想、函數與方程思想等,考查數學運算、邏輯推理等核心素養,體現基礎性和綜合性．

本題屬解答題中的中檔題,但學生答題情況不理想,大部分學生“卡殼”在第(2)問,主要原因是無法合理分析多個三角形中邊角關系,或是想快速答題而導致“欲速而不達”.

二、解法探究

先求解第(1)問.

評注：利用BC=CD,在等腰△BCD中,作BD邊上高,從而在Rt△ACM中求得AC的長.一般地,在解三角形的求邊問題中,若能把要求的邊歸結在一個直角三角形中求解,會使得運算簡化.

評注：分析圖形,在△BCA中求AC的長.由于△BCA中已知AB及BC的長,故只需求cosB即可,進而在△BCD中求得cosB的值,問題得解.

評注：在△ACD中求AC的長.由于△ACD中已知AD及DC的長,故只需求cos∠ADC即可,進而在△BCD中求得cos∠BDC的值,又cos∠ADC=-cos∠BDC,問題得解.本法與解法2類似,解題思路是尋找欲求的邊所在的已有三角形,分析已知的邊角條件,進而利用正、余弦定理求解,這是解三角形問題求邊(角)問題的常用方法.

下面分析第(2)問.

評注：根據∠BAC=2∠BCD,故對這兩個角所在兩個三角形△BCD及△ACD進行研究,得到a,b間的關系,結合中線長的性質,求得AC的長.

評注：根據∠BAC=2∠BCD,構造∠BAC的半角∠E,利用三角形相似得a,b間的關系,結合中線長的性質,求得AC的長.利用幾何關系,運用平面幾何知識達到簡化運算的目的.

由以上解答不難看出,本題解題的切入點較多,很好地考查了解三角形的有關知識及思想方法,是一道質量較高的試題,教師可從不同角度剖析引導學生思考,掌握解三角形的基本方法;另一方面,解較為復雜的三角形問題,其解決問題的數學本質還是不變的,即在三角形中,利用正余弦定理尋找三角形基本元素(邊、角)的關系,或是結合圖形特征,力求簡化運算.

三、鏈接高考

(2021年新高考Ⅰ卷19題)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c．已知b2=ac,點D在邊AC上,BDsin∠ABC=asinC．(1)證明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC．