例談放縮法在求解導(dǎo)數(shù)問題中的妙用*

北京市第八十中學(xué) (100102) 李 丁

放縮函數(shù)與放縮參量在取值范圍、不等式恒成立等問題中經(jīng)常使用,其重要性不必贅述.很多導(dǎo)數(shù)題目可以轉(zhuǎn)化為上述問題,學(xué)生在使用上述方法時(shí),往往會(huì)出現(xiàn)一種傾向,即看到題目就想構(gòu)造函數(shù)然后求函數(shù)的最值,以至于導(dǎo)致后續(xù)函數(shù)式過于復(fù)雜,而不能求解.事實(shí)上,我們要認(rèn)識(shí)到每一種方法的運(yùn)用都不能教條主義,本文通過幾個(gè)典型例題的分析求解,旨在幫助學(xué)生們辯證處理此類題目,多一種考慮問題的角度,進(jìn)而做到擇其優(yōu)者而選之.

解：(1)解法同高考參考答案,不再贅述.

圖1

解法：(1)解法同高考參考答案,不再贅述.

(2)法一:(放縮函數(shù)法)f(x)+e≥0即ax2+x≥-ex+1+1.令m(x)=ax2+x,g(x)=-ex+1+1,如圖2,做g(x)在(-1,0)處的切線h(x)=-x-1.

欲證f(x)+e≥0,只需證m(x)≥h(x)≥g(x),下面證明h(x)≥g(x).令F(x)=h(x)-g(x),即F(x)=ex+1-x-2,即證明F(x)≥0.F′(x)=ex+1-1,F′(x)=0,x=-1,當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),F′(x)<0,則F(x)在(-∞,-1)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),F′(x)>0,則F(x)在(-1,+∞)單調(diào)遞增,F(x)min=

F(-1)=0,所以F(x)≥0,即h(x)≥g(x).下面再證明m(x)≥h(x),即證明m(x)-h(x)≥0,令H(x)=m(x)-h(x)=ax2+2x+1,由于a≥1,Δ=4-4a≤0,所以H(x)=m(x)-h(x)≥0,即m(x)≥h(x).由以上可知m(x)≥h(x)≥g(x),即f(x)+e≥0.

(2)若1

解：(1)易解,不再贅述.

(2)法一:(放縮函數(shù)法)f(x)<-1即lnx

圖3

下證m(x)>h(x).令H(x)=m(x)-h(x)=ax2-2x+1,由于10,即m(x)>h(x).

總結(jié)：放縮函數(shù)法運(yùn)用以直代曲思想,做出切線,把曲線根據(jù)需要放縮為直線,利用切線與曲線的位置關(guān)系加以證明.放縮參量法運(yùn)用放縮參量的方法成功避免了求含有參數(shù)函數(shù)的最值,使不等式證明變得簡單化.