拋物線的變換

□劉頓

拋物線的變換

□劉頓

二次函數是中考重要而常見的考點，且大多出現在綜合題和壓軸題中，其中有關拋物線的變換更是頻頻亮相，現歸類說明，供參考！

一、拋物線的旋轉

例1（2016·菏澤）如圖1，一段拋物線：y=-x（x-2）（0≤x≤2）記為C1，它與x軸交于兩點O、A1；將C1繞A1旋轉180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉180°得到C3，交x軸于A3；……如此進行下去，直至得到C6.若點P（11，m）在第6段拋物線C6上，則m=________.

圖1

分析：將拋物線C1通過配方法求出頂點坐標并求出拋物線與x軸的交點坐標，由旋轉的性質可以知道C1與C2的頂點到x軸的距離相等，且OA1=A1A2，照此類推可以知道點P（11，m）為拋物線C6的頂點，從而得到結果.

解：∵y=-x（x-2）（0≤x≤2），

∴配方，得y=-（x-1）2+1（0≤x≤2），

∴頂點坐標為（1，1），

∴A1坐標為（2，0），

∵C2由C1旋轉得到，

∴OA1=A1A2，

即C2頂點坐標為（3，-1），A2（4，0）；照此類推可知，C3頂點坐標為（5，1），A3（6，0）；C4頂點坐標為（7，-1），A4（8，0）；C5頂點坐標為（9，1），A5（10，0）；C6頂點坐標為（11，-1），A6（12，0），∴m=-1.

點評：解題的關鍵是求出拋物線的頂點坐標.

二、拋物線的平移

例2（2016·金華）在平面直角坐標系中，點O為原點，平行于x軸的直線與拋物線L：y=ax2相交于A、B兩點（點B在第一象限），點D在AB的延長線上.

（1）已知a=1，點B的縱坐標為2.

①如圖2，向右平移拋物線L使該拋物線過點B，與AB的延長線交于點C，求AC的長.

圖2

圖3

（2）如圖4，若BD=AB，過O、B、D三點的拋物線L3，頂點為P，對應函數的二次項系數為a3，過點P作PE∥x軸，交拋物線L于E、F兩點，求的值，并直接寫出的值.

圖4

分析：（1）①根據函數解析式求出點A、B的坐標，進而求出AC的長；②作拋物線L2的對稱軸與AD相交于點N，根據拋物線的軸對稱性求出OM，利用待定系數法求出拋物線的函數表達式.

（2）過點B作BK⊥x軸于點K，設OK=t，得到OG=4t，利用待定系數法求出拋物線的函數表達式，根據拋物線過點B（t，at2），求出的值，根據拋物線上點的坐標特征求出的值.

解：（1）①二次函數y=ax2，

當y=2時，2=x2，

∵平移得到的拋物線L1經過點

②作拋物線L2的對稱軸與AD相交于點N，如圖3，根據拋物線的軸對稱性，得

設拋物線L2的函數表達式為

解得a=4.

∴拋物線L2的函數表達式為

（2）如圖4，拋物線L3與x軸交于點G，其對稱軸與x軸交于點Q，過點B作BK⊥x軸于點K.

設OK=t，則AB=BD=2t，點B的坐標為（t，at2），根據拋物線的軸對稱性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t.

設拋物線L3的函數表達式為y=a3x（x-4t），

∵該拋物線過點B（t，at2），

∴at2=a3t（t-4t），

由題意得，點P的坐標為（2t，-4a3t2），則-4a3t2=ax2，

點評：靈活運用待定系數法求

出函數解析式，掌握拋物線的對稱性、正確理解拋物線上點的坐標特征是解題的關鍵.

三、拋物線的翻折

例3（2016·宜賓）如圖5，已知二次函數y1=ax2+bx過（-2，4）、（-4，4）兩點.

圖5

（1）求二次函數y1的解析式.

（2）將y1沿x軸翻折，再向右平移2個單位，得到拋物線y2，直線y= m（m＞0）交y2于M、N兩點，求線段MN的長度（用含m的代數式表示）.

（3）在（2）的條件下，y1、y2交于A、B兩點，如果直線y=m與y1、y2的圖象形成的封閉曲線交于C、D兩點（C在左側），直線y=-m與y1、y2的圖象形成的封閉曲線交于E、F兩點（E在左側），求證：四邊形CEFD是平行四邊形.

分析：（1）根據待定系數法即可解決問題.

（2）利用圖形翻折的原理，先求出拋物線y2的頂點坐標，再求出其解析式，利用方程組以及根與系數關系即可求出MN.

（3）用類似（2）的方法分別求出CD、EF，即可解決問題.

解：（1）∵二次函數y1=ax2+ bx過（-2，4）、（-4，4）兩點，

∴二次函數y1的解析式為

∵將y1沿x軸翻折，再向右平移2個單位，得到拋物線y2，則拋物線y2的頂點坐標是

∴拋物線y2為

消去y并整理得

x2+2x-8-2m=0，

設x1、x2是它的兩個根，

則x1+x2=-2，x1x2=-8-2m，

設其兩個根為x1，x2，

則CD=|x1-x2|

設其兩個根為x1，x2，

則EF=|x1-x2|

即EF=CD，又EF∥CD，

故四邊形CEFD是平行四邊形.

點評：本題涉及二次函數、根與系數關系、平行四邊形的判定等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，記住公式|x1-x2|=屬于中考壓軸題.