□劉頓
拋物線的變換
□劉頓

二次函數是中考重要而常見的考點,且大多出現在綜合題和壓軸題中,其中有關拋物線的變換更是頻頻亮相,現歸類說明,供參考!
例1(2016·菏澤)如圖1,一段拋物線:y=-x(x-2)(0≤x≤2)記為C1,它與x軸交于兩點O、A1;將C1繞A1旋轉180°得到C2,交x軸于A2;將C2繞A2旋轉180°得到C3,交x軸于A3;……如此進行下去,直至得到C6.若點P(11,m)在第6段拋物線C6上,則m=________.

圖1
分析:將拋物線C1通過配方法求出頂點坐標并求出拋物線與x軸的交點坐標,由旋轉的性質可以知道C1與C2的頂點到x軸的距離相等,且OA1=A1A2,照此類推可以知道點P(11,m)為拋物線C6的頂點,從而得到結果.
解:∵y=-x(x-2)(0≤x≤2),
∴配方,得y=-(x-1)2+1(0≤x≤2),
∴頂點坐標為(1,1),
∴A1坐標為(2,0),
∵C2由C1旋轉得到,
∴OA1=A1A2,
即C2頂點坐標為(3,-1),A2(4,0);照此類推可知,C3頂點坐標為(5,1),A3(6,0);C4頂點坐標為(7,-1),A4(8,0);C5頂點坐標為(9,1),A5(10,0);C6頂點坐標為(11,-1),A6(12,0),∴m=-1.
點評:解題的關鍵是求出拋物線的頂點坐標.
例2(2016·金華)在平面直角坐標系中,點O為原點,平行于x軸的直線與拋物線L:y=ax2相交于A、B兩點(點B在第一象限),點D在AB的延長線上.
(1)已知a=1,點B的縱坐標為2.
①如圖2,向右平移拋物線L使該拋物線過點B,與AB的延長線交于點C,求AC的長.

圖2

圖3
(2)如圖4,若BD=AB,過O、B、D三點的拋物線L3,頂點為P,對應函數的二次項系數為a3,過點P作PE∥x軸,交拋物線L于E、F兩點,求的值,并直接寫出的值.

圖4
分析:(1)①根據函數解析式求出點A、B的坐標,進而求出AC的長;②作拋物線L2的對稱軸與AD相交于點N,根據拋物線的軸對稱性求出OM,利用待定系數法求出拋物線的函數表達式.
(2)過點B作BK⊥x軸于點K,設OK=t,得到OG=4t,利用待定系數法求出拋物線的函數表達式,根據拋物線過點B(t,at2),求出的值,根據拋物線上點的坐標特征求出的值.
解:(1)①二次函數y=ax2,
當y=2時,2=x2,

∵平移得到的拋物線L1經過點

②作拋物線L2的對稱軸與AD相交于點N,如圖3,根據拋物線的軸對稱性,得

設拋物線L2的函數表達式為


解得a=4.
∴拋物線L2的函數表達式為

(2)如圖4,拋物線L3與x軸交于點G,其對稱軸與x軸交于點Q,過點B作BK⊥x軸于點K.
設OK=t,則AB=BD=2t,點B的坐標為(t,at2),根據拋物線的軸對稱性,得OQ=2t,OG=2OQ=4t.
設拋物線L3的函數表達式為y=a3x(x-4t),
∵該拋物線過點B(t,at2),
∴at2=a3t(t-4t),

由題意得,點P的坐標為(2t,-4a3t2),則-4a3t2=ax2,
點評:靈活運用待定系數法求
出函數解析式,掌握拋物線的對稱性、正確理解拋物線上點的坐標特征是解題的關鍵.
例3(2016·宜賓)如圖5,已知二次函數y1=ax2+bx過(-2,4)、(-4,4)兩點.

圖5
(1)求二次函數y1的解析式.
(2)將y1沿x軸翻折,再向右平移2個單位,得到拋物線y2,直線y= m(m>0)交y2于M、N兩點,求線段MN的長度(用含m的代數式表示).
(3)在(2)的條件下,y1、y2交于A、B兩點,如果直線y=m與y1、y2的圖象形成的封閉曲線交于C、D兩點(C在左側),直線y=-m與y1、y2的圖象形成的封閉曲線交于E、F兩點(E在左側),求證:四邊形CEFD是平行四邊形.
分析:(1)根據待定系數法即可解決問題.
(2)利用圖形翻折的原理,先求出拋物線y2的頂點坐標,再求出其解析式,利用方程組以及根與系數關系即可求出MN.
(3)用類似(2)的方法分別求出CD、EF,即可解決問題.
解:(1)∵二次函數y1=ax2+ bx過(-2,4)、(-4,4)兩點,

∴二次函數y1的解析式為

∵將y1沿x軸翻折,再向右平移2個單位,得到拋物線y2,則拋物線y2的頂點坐標是
∴拋物線y2為
消去y并整理得
x2+2x-8-2m=0,
設x1、x2是它的兩個根,
則x1+x2=-2,x1x2=-8-2m,

設其兩個根為x1,x2,
則CD=|x1-x2|

設其兩個根為x1,x2,
則EF=|x1-x2|

即EF=CD,又EF∥CD,
故四邊形CEFD是平行四邊形.
點評:本題涉及二次函數、根與系數關系、平行四邊形的判定等知識,解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題,記住公式|x1-x2|=屬于中考壓軸題.
