全國名校拋物線測試卷

■河南科技大學附屬高級中學 刁新玉

一、選擇題

1.拋物線y=4x2的焦點坐標是( )。

2.已知拋物線的準線方程為x=-7,則拋物線的標準方程為( )。

A.x2=-28yB.y2=28x

C.y2=-28xD.x2=28y

3.已知拋物線的方程為標準方程,焦點在x軸上,其上一點P(-3,m)到焦點F的距離為5,則拋物線方程為( )。

A.y2=8xB.y2=-8x

C.y2=4xD.y2=-4x

4.過點F(0,3)且和直線y+3=0相切的動圓圓心的軌跡方程為( )。

A.y2=12xB.y2=-12x

C.x2=12yD.x2=-12y

5.拋物線y2=mx的焦點為F,點P(2,2)在此拋物線上,M為線段PF的中點,則點M到該拋物線準線的距離為( )。

6.拋物線y2=12x截直線y=2x+1所得弦長等于( )。

7.已知拋物線y2=2px(p＞0)的準線與圓x2+y2-6x-7=0 相切,則p的值為( )。

8.一動圓的圓心在拋物線y2=8x上,且動圓恒與直線x+2=0相切,則此動圓必過定點( )。

A.(4,0) B.(2,0)

C.(0,2) D.(0,-2)

9.過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,如果x1+x2=8,那么|AB|等于( )。

A.10 B.8 C.6 D.4

10.設O為坐標原點,F為拋物線y2=4x的焦點,A為拋物線上一點,若=-4,則點A的坐標為( )。

11.若點A的坐標為(3,2),F為拋物線y2=2x的焦點,點P是拋物線上的一動點,則|PA|+|PF| 取得最小值時,點P的坐標是( )。

A.(0,0) B.(1,1)

12.已知拋物線y2=2px(p＞0)的焦點弦AB的兩端點為A(x1,y1),B(x2,y2), 則關系式的值一定等于( )。

A.4 B.-4 C.p2D.-p

13.拋物線y2=2px(p＞0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三點,F是它的焦點,若|AF|,|BF|,|CF| 成等差數列,則( )。

A.x1,x2,x3成等差數列

B.x1,x3,x2成等差數列

C.y1,y2,y3成等差數列

D.y1,y3,y2成等差數列

14.已知P為拋物線y2=4x上的任意一點,記點P到y軸的距離為d,對于給定點A(4,5),則|PA|+d的最小值為( )。

15.已知拋物線y2=2px(p＞0),過焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點,若線段AB的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為( )。

A.x=1 B.x=-1

C.x=2 D.x=-2

16.已知拋物線C：y2=8x的焦點為F,點A(1,a)(a＞0)在拋物線C上,|AF|=3,若直線AF與拋物線C交于另一點B,則|AB|的值是( )。

A.12 B.10 C.9 D.4.5

17.拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l,經過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A,AK⊥l,垂足為K,則△AKF的面積是( )。

18.過拋物線y=ax2(a＞0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點,若線段PF與FQ的長分別是p,q,則=( )。

A.2aB.C.4aD.

19.若AB為拋物線y2=2px(p＞0)的動弦,且|AB|=a(a＞2p),則AB的中點M到y軸的最近距離是( )。

20.已知點A(0,2),拋物線C：y2=2px(p＞0)的焦點為F,射線FA與拋物線C相交于點M,與其準線相交于點N,若,則p的值等于( )。

21.過拋物線C：y2=4x的焦點F,且斜率為的直線交拋物線C于點M(M在x軸上方),l為拋物線C的準線,點N在l上且MN⊥l,則M到直線NF的距離為( )。

22.已知拋物線y2=的焦點為F,A、B為拋物線上兩點,若,O為坐標原點,則△AOB的面積為( )。

二、填空題

23.拋物線y2=4x的弦AB垂直于x軸,若AB的長為,則焦點到AB的距離為____。

24.直線x-y-1=0截拋物線y2=8x,所截得的弦中點的坐標是____。

25.已知點P在拋物線y2=2x上運動,點Q與點P關于(1,1)對稱,則點Q的軌跡方程是____。

26.拋物線x2=2py(p＞0)的焦點為F,其準線與雙曲線相交于A、B兩點,若△ABF為等邊三角形,則p=____。

27.已知直線l1：4x-3y+12=0和直線l2：x=-1,則拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2距離之和的最小值是____。

28.設F為拋物線y2=4x的焦點,A、B、C為該拋物線上三點,則等于_____。

29.已知直線l：y=2x+b被拋物線C：y2=2px(p＞0)截得的弦長為5,直線l經過拋物線C的焦點,M為拋物線C上的一個動點,設點N的坐標為(3,0),則|MN|的最小值為____。

30.已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則的最小值是____。

三、解答題

31.求適合下列條件的拋物線的標準方程：

(1)過拋物線y2=2mx的焦點F作x軸的垂線交拋物線于A、B兩點,且|AB|=6；

(2)拋物線頂點在原點,對稱軸是x軸,點P(-5,2)到焦點的距離是6。

32.若拋物線y2=2px(p＞0)上一點M到準線及對稱軸的距離分別為10和6,求M點的橫坐標及拋物線方程。

33.已知拋物線y2=6x,過點P(4,1)引一條弦P1P2使它恰好被點P平分,求這條弦所在的直線方程及|P1P2|的值。

34.直線y=kx-2交拋物線y2=8x于A、B兩點,若線段AB中點的橫坐標等于2,求弦AB的長。

35.設拋物線y2=8x的焦點是F,有傾斜角為45°的弦AB,|AB|=,求△FAB的面積。

36.已知點P與點F(2,0)的距離比它到直線x+4=0的距離小2,若記點P的軌跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程；

(2)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且OA⊥OB,求證：直線l過定點,并求出該定點的坐標。

37.過點E(-1,0)的直線l與拋物線C：y2=4x交于A、B兩點,F是C的焦點。

(1)若線段AB中點的橫坐標為3,求|AF|+|BF|的值；

(2)求|AF|·|BF|的取值范圍。

38.已知拋物線C：y2=2px(p＞0)的焦點為F,且過點F且斜率為1的直線與拋物線相交于M、N兩點,|MN|=8。

(1)求拋物線C的方程；

(2)設直線l為拋物線C的切線,且l∥MN,P為l上一點,求的最小值。

39.已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)相交于A,B兩點。

(1)求證OA⊥OB；

(2)當△AOB的面積等于時, 求k的值。

40.設拋物線C：y2=2x,點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線l與C交于M、N兩點。

(1)當直線l與x軸垂直時,求直線BM的方程；

(2)證明：∠ABM=∠ABN。

41.已知拋物線C：y2=3x的焦點為F,斜率為的直線l與拋物線C的交點為A、B,與x軸交于點P。

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程；

42.設A、B為拋物線C：y=上兩點,A與B的橫坐標之和為4。

(1)求直線AB的斜率；

(2)設M為拋物線C上一點,拋物線C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程。

43.拋物線y2=4x的焦點為F,過點F的直線交拋物線于A、B兩點。

(2)設點M在線段AB上運動,原點O關于點M的對稱點為C,求四邊形OACB面積的最小值。