全國名校拋物線測試培優卷（B卷）

■河南省虞城縣高級中學 何海濤 朱喜梅

一、選擇題

2.若拋物線y2=2p x(p＞0)上一點P(2,y0)到其準線的距離為4,則該拋物線的標準方程為( )。

A.y2=4x B.y2=6x

C.y2=8x D.y2=1 0x

3.過點(0,1)且與拋物線y2=4x只有一個公共點的直線有( )。

A.1條 B.2條 C.3條 D.0條

4.已知P為拋物線y2=4x上的一個動點,直線l1:x=-1,l2:x+y+3=0,則點P到直線l1,l2的距離之和的最小值為( )。

5.拋物線y2=4x的焦點為F,點P為拋物線上的動點,點M為其準線上的動點,當△F PM為等邊三角形時,其面積為( )。

A.2 3 B.4 C.6 D.4 3

6.設拋物線y2=2x的焦點為F,過點M(3,0)的直線與拋物線相交于A、B兩點,與拋物線的準線相交于C點,且|B F|=2,則△B C F與△A C F的面積之比為( )。

A.2∶3 B.3∶4 C.4∶5 D.5∶6

7.已知F是拋物線y2=1 6x的焦點,A、B是該拋物線上的兩點,|A F|+|B F|=1 2,則線段A B的中點到y軸的距離為( )。

A.8 B.6 C.2 D.4

8.已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線與x軸的交點為K,點A在拋物線C上且|A K|=2|A F|,則△A F K的面積為( )。

A.4 B.8 C.5 D.6

9.設M(x0,y0)為拋物線C:x2=8y上一點,F為拋物線C的焦點,以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準線相交,則y0的取值范圍是( )。

A.(0,2) B.[0,2]

C.(2,+∞) D.[2,+∞)

1 0.以拋物線C的頂點為圓心的圓交拋物線C于A、B兩點,交拋物線C的準線于D、E兩點。已知|A B|=4,|D E|=2 5,則拋物線C的焦點到準線的距離為( )。

A.2 B.4 C.6 D.8

1 1.設拋物線y2=6x的焦點為F,準線為l,P為拋物線上一點,P A⊥l,垂足為A。如果△A P F為正三角形,那么|P F|等于( )。

A.4 3 B.6 3 C.6 D.1 2

1 2.已知直線y=x+b與拋物線x2=2y交于A、B兩點。O為坐標原點,且O A⊥O B,則b=( )。

A.2 B.-2 C.1 D.-1

1 3.以拋物線y2=4x的焦點為圓心,且與拋物線的準線相切的圓的方程是( )。

A.(x-2)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=4

C.(x-2)2+y2=2 D.(x-1)2+y2=2

1 4.已知點A(3,4),F是拋物線y2=8x的焦點,M是拋物線上的動點,當|MA|+|MF|取最小值時,M點的坐標是( )。

1 5.已知拋物線y2=2p x(p＞0)的焦點為F,點P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在拋物線上,且|P1F|、|P2F|、|P3F|成等差數列,則有 ( )。

A.x1+x2=x3B.y1+y2=y3

C.x1+x3=2x2D.y1+y3=2y2

1 6.若點P為拋物線y=2x2上的動點,F為拋物線的焦點,則|P F|的最小值為( )。

1 7.已知F是拋物線x2=8y的焦點,若拋物線上的點A到x軸的距離為5,則|A F|=( )。

A.4 B.5 C.6 D.7

1 8.設F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為3 0°的直線交C于A、B兩點,O為坐標原點,則△O A B的面積為( )。

1 9.直線l與拋物線C:y2=2x交于A、B兩點,O為坐標原點,若直線O A,O B的斜率k,k滿足,則直線l一定過點( )。

A.(-3,0) B.(3,0)

C.(-1,3) D.(-2,0)

A.y2=2x B.y2=4x

C.y2=1 0x D.y2=2 0x

2 1.設拋物線C:y2=4x的焦點為F,傾斜角為鈍角的直線l過F,且與拋物線C交于A、B兩點。則直線l的斜率為( )。

2 2.過拋物線y=4x焦點的直線l交拋物線于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點,若x1+x2=6,則|P Q|=( )。

A.9 B.8 C.5 D.6

2 3.已知O為坐標原點,F為拋物線y2=4x的焦點,直線l:y=m(x-1)與拋物線交于A、B兩點,點A在第一象限。若|F A|=3|F B|,則m的值為( )。

2 4.平面直角坐標系x O y中,雙曲線C1:)的漸近線與拋物線2C2:x2=2p y(p＞0)交于O、A、B,若△O A B的垂心為C2的焦點,則C1的離心率為( )。

2 5.已知拋物線y2=2p x(p＞0)的焦點為F,△A B C的三個頂點都在拋物線上,且A(1,2),,則B C邊 所 在 的 直線方程為( )。

A.2x-y-2=0 B.2x-y-1=0

C.2x+y-6=0 D.2x+y-3=0

2 6.已知F為拋物線y2=x的焦點,點A、B在該拋物線上且位于x軸的兩側(其中O為坐標原點),則△A B O與

△A F O面積之和的最小值是( )。

2 7.正三角形A B C的兩個頂點A、B在拋物線x2=2p y(p＞0)上,另一個頂點C是此拋物線的焦點,則滿足條件的△A B C的個數為( )。

A.0 B.1 C.2 D.3

2 8.設點P在圓C:x2+(y-6)2=5上,點Q在拋物線x2=4y上,則|P Q|的最小值為( )。2 9.設F是拋物線C1:y2=2p x(p＞0)的焦點,點A是拋物線與雙曲線=1(a＞0,b＞0)的一條漸近線的一個公共點,且A F⊥x軸,則雙曲線的離心率為( )。

3 0.過拋物線y2=2p x(p＞0)的焦點F作傾斜角為4 5°的直線交拋物線于A、B兩點,若線段A B的長為8,則p的值( )。

A.3 B.2 C.5 D.6

二、填空題

3 3.已知拋物線C:y2=2p x(p＞0)的準線為l,過M(1,0)且斜率為3的直線與l相交于點A,與拋物線C的一個交點為B。若,則p的值為____。

3 5.已知F是拋物線y2=4x的焦點,M是拋物線上的一個動點,P(3,1)是一個定點,則|MP|+|MF|的最小值為____。

3 6.O為坐標原點,F為拋物線C:y2=的焦點,P為拋物線C上一點,若|P F|則△P O F的面積為____。

3 7.設拋物線x2=1 2y的焦點為F,經過點P(2,1)的直線l與拋物線相交于A、B兩點。又知點P恰為A B的中點,則|A F|+|B F|=____。

3 8.已知拋物線y2=4x截直線y=2x+m所得弦長|A B|=,則m的值為____。

3 9.已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是____。

4 0.拋物線y2=4x上有兩點A、B到焦點的距離之和為7,則A、B到y軸的距離之和為____。

4 2.已知拋物線C1:y=a x2(a＞0)的焦點也是橢圓點,點分別為曲線C、C上的

12點,則|MP|+|MF|的最小值為____。

4 3.以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點,交C的準線于D、E兩點,已知,則拋物線C的焦點到準線的距離為____。

4 4.設拋物線C:x2=2p y(p＞0)的焦點為F,準線為l,A為拋物線C上一點,已知以F為圓心,F A為半徑的圓F交l于B、D兩點。若∠B F D=9 0°,△A B D 的面積為則圓F的方程為____。

4 5.過拋物線y2=2p x(p＞0)的焦點F作兩條相互垂直的射線,分別與拋物線相交于點M、N,過弦MN的中點P作拋物線準線的垂線P Q,垂足為Q,則的最大值為____。

4 6.已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線為l,P是l上一點,Q是直線P F與拋物線C的一個交點,若=____。

4 7.已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A、B兩點,直線l2與C交于D、E兩點,則|A B|+|D E|的最小值為____。

4 8.設A、B是拋物線C:y2=4x上異于原點O的兩個不同點,直線O A和O B的傾斜角分別為α和β,當t a nα·t a nβ=1時,則直線A B恒過一定點M,那么M坐標為____。

4 9.已知拋物線C:y2=4x,存在正數m,對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A、B的任一直線,都有則m的取值范圍為____。

5 0.已知拋物線C的頂點在原點,焦點F在x軸的正半軸上,設A、B是拋物線C上的兩個動點(A B不垂直于x軸),且|A F|+|B F|=8,線段A B的垂直平分線恒經過定點Q(6,0),則此拋物線的方程為____。

三、解答題

5 1.已知拋物線C:y2=2p x(p＞0)過點P(1,-2)。

(1)求拋物線C的方程,并求其準線方程;

(2)過焦點F且斜率為2的直線l與拋物線交于A、B兩點,求△O A B的面積。

5 2.在平面直角坐標系x O y中,拋物線C:x2=2p y(p＞0)的焦點為F,過F的直線l交C于A、B兩點,交x軸于點D,B到x軸的距離比|B F|小1。

(1)求C的方程;

(2)若S△BOF=S△AOD,求l的方程。

5 3.已知E(2,2)是拋物線C:y2=2p x上一點,經過點D(2,0)的直線l與拋物線C交于A、B兩點(不同于點E),直線E A,E B分別交直線x=-2于點M、N。

(1)求拋物線方程及其焦點坐標,準線方程;

(2)已知O為原點,求證:∠MON為定值。

5 4.已知圓M:(x-a)2+(y-b)2=9,M在拋物線C:x2=2p y(p＞0)上,圓M過原點且與C的準線相切。

(1)求C的方程。

(2)點Q(0,-t)(t＞0),點P(與Q不重合)在直線l:y=-t上運動,過點P作C的兩條切線,切點分別為A、B。求證:∠A Q O=∠B Q O(其中O為坐標原點)。

5 5.已知拋物線C:y2=2p x(p＞0)的焦點是F,點D(1,y0)是拋物線上的點,且|D F|=2。

(1)求拋物線C的標準方程。

(2)過定點M(m,0)(m＞0)的直線與拋物線C交于A、B兩點,與y軸交于點N,且滿足

(1)求動點P的軌跡方程;

(2)記P點的軌跡為E,過點S(2,0)斜率為k1的直線交E于A、B兩點,Q(1,0),延長A Q,B Q與E交于C,D兩點,設C D的斜率為k2,證明為定值。

5 7.已知平面內一動點M到點F(1,0)的距離比到直線x=-3的距離小2。設動點M的軌跡為C。

(1)求曲線C的方程。

(2)若過點F的直線l與曲線C交于A、B兩點,過點B作直線:x=-1的垂線,垂足為D,設A(x1,y1),B(x2,y2)。求證:①x1·x2=1,y1·y2=-4;②A、O、D三點共線(O為坐標原點)。

5 8.已知拋物線E:y2=2p x(p＞0)的焦點F,E上一點(3,m)到焦點的距離為4。

(1)求拋物線E的方程;

(2)過F作直線l,交拋物線E于A、B兩點,若直線A B中點的縱坐標為-1,求直線l的方程。

5 9.已知動點M到點N(1,0)和直線l:x=-1的距離相等。

(1)求動點M的軌跡E的方程。

(2)已知不與l垂直的直線l′與曲線E有唯一公共點A,且與直線l的交點為P,以A P為直徑作圓C,判斷點N和圓C的位置關系,并證明你的結論。

(責任編輯 徐利杰)