拋物線一組結論的證明與應用

■浙江省江山市第五中學 徐洪軍

拋物線一組結論的證明與應用

■浙江省江山市第五中學 徐洪軍

拋物線有很多優美的結論,在平時的學習中,同學們要能夠靈活應用。下面,筆者通過拋物線一組結論的證明與應用來進一步揭示拋物線的本質。

結論1 已知直線l經過拋物線C:y2= 2px(p〉0)的焦點F,直線l與拋物線C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則y1·y2=

應用1 已知直線l經過拋物線C:y2= 8x的焦點F,直線l與拋物線C交于A(x1, y1),B(x2,y2)兩點,則:

(2)根據拋物線的結論1可得x1·x2=因為x1〉0,x2〉0,所以

(3)根據拋物線的結論1可得y1·y2= -p2=-16。因為y1·y2〈0,所以|16y1-25y|=16|y|+25|y|≥160,當且僅當16|y1|=25|y2|=80,即y1= 5,y=-或y=-5,y=時,取等號,因此|16y1-25y2|的最小值為160。

結論2 已知直線l與拋物線C:y2= 2px(p〉0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,且滿足y1·y2=-p2,則直線l經過拋物線C的焦點。

證明：(1)當x1=x2時,有|y1|=|y2|。

因為y1·y2=-p2,所以|y1|=|y2|= p,于是因為拋物線的焦點F的坐標為,所以直線l經過焦點F。

應用2 已知直線l與拋物線C:y2=8x交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,且滿足y1· y2=-16,則直線l經過定點。

證明：因為p=4,y1·y2=-16,所以y1·y2=-p2。根據拋物線的結論2可知,直線l經過拋物線的焦點F(2,0)。

結論3 已知F是拋物線C:y2=2px (p〉0)的焦點,直線l與拋物線C交于A、B兩點,記直線FA、FB的斜率分別為k1、k2,若直線l經過點,則k+k=0。

證明：設A(x1,y1),B(x2,y2),由題意可設直線l的方程為,把直線l的方程代入拋物線方程y2= 2px,消去y整理可得k2x2+(k2p-2p)x+

因為k≠0,且Δ=(k2p-2p)2-k4p2= 4p2(1-k2)〉0,所以-1〈k〈0或0〈k〈1。

應用3 已知F是拋物線C:y2=12x的焦點,直線l:y=k(x+3)與拋物線C交于A、B兩點,記直線FA、FB的斜率分別為k、k,則=____。

解析：由題意可知,拋物線焦點為F(3, 0),直線l恒過定點(-3,0),根據拋物線的結論3可得,k+k=0,于是

結論4 已知F是拋物線C:y2=2px (p〉0)的焦點,斜率存在的直線l與拋物線C交于A、B兩點,記直線FA、FB的斜率分別為k1、k2,若k1+k2=0,則直線l恒過定點

證明：由題意可設直線l的方程為x= my+t,其中m≠0。把直線l的方程x= my+t代入拋物線方程y2=2px,消去x得y2-2mpy-2pt=0,由Δ=4m2p2+8pt= 4p(m2p+2t)〉0,可得m2p+2t〉0。

應用4 已知F是拋物線C:y2=32x的焦點,斜率存在的直線l與拋物線C交于A、B兩點,記直線FA、FB的斜率分別為k1、k2,若k1+k2=0,則直線l經過定點。

證明：根據拋物線的結論4可知,直線l經過定點(-8,0)。

在設直線方程時,要注意考慮直線的斜率不存在的情況是否滿足題意。有時,也可以把直線方程設成x=my+t的形式來避免復雜的運算,進一步提高解題的準確率。

(責任編輯 王福華)