■湖南省新田縣第一中學(xué) 歐衛(wèi)衛(wèi)

圓錐曲線錯(cuò)點(diǎn)多 審題求解細(xì)斟酌

■湖南省新田縣第一中學(xué) 歐衛(wèi)衛(wèi)

學(xué)習(xí)圓錐曲線常常會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤:對(duì)橢圓的定義理解不透、忽視焦點(diǎn)位置、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程不排除不滿足條件的點(diǎn)、忽視直線的斜率不存在的情形等。

錯(cuò)點(diǎn)一、對(duì)橢圓的定義理解不透

已知F1、F2為兩個(gè)定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=2017,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( )。

A.橢圓 B.圓 C.線段 D.不確定

錯(cuò)解:由橢圓的定義知,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓,故選A。

錯(cuò)因：對(duì)橢圓的定義理解不透徹,認(rèn)為點(diǎn)P到兩點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓。

正解：依題意,①當(dāng)兩定點(diǎn)F1、F2的距離|F1F2|〈2017時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓;②當(dāng)兩定點(diǎn)F1、F2的距離|F1F2|=2017時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段|F1F2|;③當(dāng)兩定點(diǎn)F1、F2的距離|F1F2|〉2017時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在。故選D。

對(duì)比練習(xí)1：已知雙曲線x2-y2=25的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線上,若|PF1|=18,則|PF2|=_________。

解析：由x2-y2=25得,所以2a=10。因?yàn)閨PF1|=18,由||PF1|-|PF2||=2a=10得|PF2|=18-10=8或|PF2|=18+10=28。所以|PF2|=8或28。

錯(cuò)點(diǎn)二、忽視焦點(diǎn)位置

錯(cuò)點(diǎn)三、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程不排除不滿足條件的點(diǎn)

已知定點(diǎn)A(0,7),B(0,-7), C(12,2),以點(diǎn)C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A、B的橢圓,求另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程。

錯(cuò)解:設(shè)F(x,y)為軌跡上的任意一點(diǎn),依題意,得|FA|+|CA|=|FB|+|CB|= 2a(a表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng))。所以|FA|-|FB|=|CB|-|CA|=-=2,所以|FA|-|FB|=2。由雙曲線的定義知,F點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn),2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線上,所以點(diǎn)F的軌跡方程是y2-。

錯(cuò)因：利用雙曲線定義求方程,要注意三點(diǎn):(1)距離之差的絕對(duì)值;(2)2a〈|F1F2|; (3)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的位置。點(diǎn)F的軌跡是雙曲線的下支,一定要分清是差的絕對(duì)值為常數(shù),還是差為常數(shù)。

正解：設(shè)F(x,y)為軌跡上的任意一點(diǎn),依題意,得|FA|+|CA|=|FB|+|CB|= 2a(a表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng))。所以|FA|-|FB|=|CB|-|CA|=122+92-122+(-5)2=2,所以|FA|-|FB|=2〈14。由雙曲線的定義知,F點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn),2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的下支上,所以點(diǎn)F的軌跡方程是

對(duì)比練習(xí)3：若動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A(3, 0),B(3,0)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為16,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_______。

解析：因?yàn)锳、B是兩定點(diǎn),|AB|=6。又三角形的周長(zhǎng)為16,所以|MA|+|MB|= 10,由橢圓的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以A、B

錯(cuò)點(diǎn)四、忽視直線的斜率不存在的情形

(2)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),解題過(guò)程同錯(cuò)解。綜上所述,△AOB面積的最大值為

對(duì)比練習(xí)4：求過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線,使它與拋物線y2=2x僅有一個(gè)交點(diǎn)。

解析：①當(dāng)所求直線的斜率k不存在,即直線垂直x軸時(shí),因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(0,1),所以x= 0,即y軸,正好與拋物線y2=2x相切。

②當(dāng)所求直線的斜率k=0時(shí),直線為y=1,直線平行x軸,正好與拋物線y2=2x只有一個(gè)交點(diǎn)。

③當(dāng)k≠0時(shí),設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線為y=kx+1,則,所以k2x2+ (2k-2)x+1=0,令Δ=0,解得k=。所以所求直線為y=x+1。

(責(zé)任編輯 王福華)