圓錐曲線中如何解決參變量的取值范圍

■廣東省江門市棠下中學 林月霞

圓錐曲線中如何解決參變量的取值范圍

■廣東省江門市棠下中學 林月霞

圓錐曲線與不等式交匯的問題主要是:以圓錐曲線為依托,通過引入不等式求解變量的取值范圍。我們通過下面的例題來闡述在圓錐曲線中應如何引入不等式來求變量的取值范圍。

一、由判別式建立不等式

已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y軸距離的差都是1。

(1)求曲線C的方程。

(2)是否存在正數m,對于過點M(2m, 0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線,都有若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由。

評注:第(2)問中出現了“一直線與曲線C相交于A,B兩點”這樣的條件,這顯然是探討直線與曲線C的位置關系的問題。而我們在處理由直線與曲線的位置關系所引起的變量取值范圍問題時,通常用到的工具就是韋達定理與判別式。

二、由圓錐曲線方程中變量的取值范圍建立不等式

評注:圓錐曲線方程本身對其上的點的橫、縱坐標都是有約束的,比如橢圓中,-a≤x≤a、-b≤y≤b;雙曲線中,x≤-a或x≥a。這些都是用來構造不等式的非常有效的工具,在圓錐曲線中,對求變量的取值范圍問題,這種引入不等式的方法容易被忽視。審視該題條件,看不到現成的不等式供我們利用,這種情況下就應當考慮圓錐曲線方程本身所隱含的約束條件。

三、由圓錐曲線的幾何特征引入不等式

由橢圓的幾何性質知PF2〈a+c,則,即c2+2c-a2〉0,所以e2+ 2e-1〉0,解得又e∈(0,1),故橢圓的離心率e∈(2-1,1)。

評注:求離心率的取值范圍的難點在于需要發現一個或多個限制a,b,c的不等式,即要構造一個關于a,b,c的不等式或不等式組。常用來建立不等式的幾何性質有:(1)橢圓中|PF1|+|PF2|〉2c、a〉c、a〉b,PF2〈a+c;(2)雙曲線中||PF1|-|PF2||〈2c、c〉a、c〉b等。

(責任編輯 王福華)