基于鎖相環和小波變換的PSK信號波特率估計

夏楠，邱天爽，李景春

(1. 大連理工大學 電子信息與電氣工程學部，遼寧 大連 116024；

2. 國家無線電監測中心，北京 100037)

1 引言

移相鍵控(PSK)調制是通信系統中應用廣泛的一種數字調制方式。要實現對PSK信號的解調，必須知道信號波特率。在無線電監測等應用問題中，如何在低信噪比的條件下實現 PSK信號波特率的精確估計，是目前研究的熱點。文獻[1～3]根據PSK信號具有循環平穩特性，通過求循環相關從而估計波特率。這種方法在低信噪比下能得到較好結果，但是計算量大，實現起來比較困難。在文獻[4,5]中，Chan提出利用小波變換來進行波特率估計，將信號相位變化反映為小波變換后不同峰值幅度的變化。這種方法計算量小，但是在信噪比低于7dB時性能顯著變差。文獻[6]對Chan氏算法進行了改進，提高了算法的抗噪性能，但是尚存在由于載頻估計不準確而使包絡提取效果變差的現象。文獻[7]和文獻[8]分別提出2個尺度小波變換、聯合逆傅立葉變換和均方估計器的方法，對PSK信號波特率估計，進而提高估計的精確度與抗噪性。文獻[9]通過Morlet小波變換同樣可以實現波特率的準確估計。通過對Chan氏算法研究發現，該算法沒有考慮載波的初始相位對波特率估計的影響。針對 Chan氏算法存在的問題，本文深入研究了載波初相對小波變換的影響，提出一種基于鎖相環的波特率盲估計方法。該方法采用鎖相環對輸入信號進行載頻同步來提取信號包絡，采用包絡信號的小波變換來估計信號的波特率，有效解決了 Chan氏算法中存在的問題。本文算法的另一優勢還在于無須任何載頻和信噪比的先驗知識。實驗仿真表明，在信噪比低至0dB情況下，本文算法仍能實現對PSK信號波特率的準確估計。

2 基于小波變換的PSK信號波特率估計原理

本文是針對文獻[4,5]所提出的 Chan氏算法的改進，文獻中選擇Harr小波作為基函數，其原因在于Haar小波對暫態信號，尤其是對信號相位的變化有較強的檢測能力，且結構最為簡單，故本文也同樣選用Haar小波，并與 Chan算法進行比較。設PSK信號為 x(k)，其小波變換的離散形式可表示為

其中，a、τ分別是小波的尺度和位移參數，ψ(k)是小波母函數。文獻[4,5]中給出Haar小波離散表達式為

當PSK信號被采樣后，其復數形式可表示為

其中，P是PSK信號的功率，ωc為載頻角頻率，θc為載波初始相位，T為 PSK信號的符號周期，為符號轉換時可能出現的相位變化量。PSK信號的Haar小波變換為

由式(4)和式(5)可知，在符號發生變化的時刻，PSK信號相位發生突變，引起小波變換幅值的變化，如果小波尺度a選擇較小，則有即在相位發生突變時，小波變換幅值會出現一個尖峰，則峰—峰間隔為符號周期的整數倍，然后做FFT變換，最高譜峰對應的頻率則為PSK信號的波特率[3]。

3 算法改進

3.1 Chan氏算法分析

由式(5)可知， C WT(a, τ ) ≤ 2 （ P a ）12,τ=iT，在較低信噪比下，符號發生變化時，小波變換幅值出現的尖峰不明顯，根據文獻[4]和文獻[5]的實驗結果，Chan氏算法在信噪比SNR＜7dB時失效，表明Chan氏算法對噪聲比較敏感。另一方面，通過分析可知，小波變換只有在PSK信號瞬時值發生突變時才能檢測出信號符號發生變化的位置，而載波初始相位θc對這種符號變化的檢測及后續的波特率估計影響很大，這是由于在符號發生變化的時刻，PSK信號的瞬時相位可能是一個很接近零的值，即β≈0。此時，當τ=iT時的小波變換式(5)與τ≠iT時的小波變換式(4)相同，表明在符號發生變化的位置，信號的小波變換幅值沒有產生尖峰，故 Chan氏算法失效。基于前面對 Chan氏算法的分析，本文提出一種基于自適應相位同步和小波變換的改進的波特率估計方法。使用鎖相環對輸入信號實現相位同步，從而提取輸入信號的包絡，再對信號包絡進行小波變換，進而估計波特率。與 Chan氏算法直接對輸入信號進行小波變換相比，本文算法使用鎖相環提取信號包絡并歸一化，消除了載波初相隨機性對波特率估計的影響，并使包絡信號的小波變換幅值在符號發生變化時尖峰更為明顯，因此，本文算法可以有效改善信噪比對波特率估計的影響。

3.2 基于PLL技術的相位跟蹤方法及收斂性與復雜性分析

鎖相環在本文算法中是一個很重要的環節，因為對輸入信號提取包絡是以載頻的精確估計為前提的。但是實際上很難實現完全準確的估計。即使是很小的載頻估計誤差也會因為誤差累積而使包絡的提取效果變差，從而影響波特率的估計。與復雜的載頻精確估計算法相比，鎖相環是對輸入信號進行實時處理，動態調整相位的誤差，在載頻同步的同時，實現對信號包絡提取，且算法簡單，易于實現。圖1給出了本文算法的流程。

圖1 算法流程

圖1 中首先對輸入PSK信號進行預處理，改善信號的信噪比，以消除由噪聲引起的鎖相環本振輸出信號的相位抖動與頻率不穩。本文使用主分量分析(PCA)對信號進行預處理。該方法能夠有效抑制隨機噪聲，提高鎖相環的性能并改善波特率估計的效果，且無需信號的統計先驗知識。

鎖相技術是一種相位負反饋技術[10～12]，它是通過比較輸入信號和壓控振蕩器輸出信號的相位，并取出與這2個信號的相位差成正比的電壓作為誤差電壓來控制振蕩器的頻率，達到使其與輸入信號頻率相等的目的。本文基于鎖相環思想給出相位及頻率跟蹤的迭代方程，方法如下。

步驟1 初始化： ω?(0) = 0,φ?(0)=0；

步驟2 更新： k = 1 ,2,…

獲得信號包絡：

獲得相位誤差：

獲得頻率更新：

獲得相位更新：

其中， A (k)是提取的輸入信號 r(k)= Aexp (j(ω(k)+φ0)) + n(k )的包絡，ω(k)和φ0分別為輸入信號的瞬時角頻率和初始相位， n(k)是均值為 0、方差為N02的復高斯白噪聲，Δθ?(k)是輸入信號與輸出信號的瞬時相位差，即 Δ θ?(k ) = φ(k ) - φ?(k )，ω?(k)是估計出的輸出信號瞬時頻率，φ?(k)是輸出信號的瞬時相位。從式(9)可以得到輸入信號和輸出信號的相位差表達式

式(10)中，可以將輸入信號與輸出信號的頻率誤差近似為輸出信號頻率的迭代誤差，如式(8)所示。因此，可以得到相位誤差的迭代方程

由于c1、 c2滿足c1、 c2∈ （ 0, 1），因此相位誤差的迭代方程系數 0 ＜ （1 + c1c2）（1 + c1）＜1。若φ?(k)是φ( k )的無偏估計，則可得到相位誤差的方差迭代方程

由式(12)可知，k時刻的相位偏差要比 k - 1時刻的相位偏差小。因此，基于鎖相環技術的相位及頻率估計方法是收斂的。并且可以得到基于最大似然估計的相位誤差的Cramer-Rao下界[12]：

其中， T0是噪聲半邊等效帶寬，本文由于沒有采用環路濾波器，而是直接對復信號進行處理，因而噪聲等效帶寬為 T0→+∞ ，進而可以得到 σΔ2θ?≥ 0 。

下面考慮鎖相環算法的計算復雜度：若將 c1c2視為已知量，則在第k時刻計算式(6)需要4次實數乘法和2次實數加法，計算式(7)需要6次實數乘法和2次實數加法，計算式(8)需要1次實數乘法和1次實數加法，最后計算式(9)需要1次實數乘法和2次實數加法。因此，當鎖相環經過k時刻實現載頻與相位的同步，則需要完成12k次實數乘法以及7k次實數加法，其計算復雜度為 O (k)。

3.3 基于Haar小波變換的波特率估計方法

當鎖相環鎖定時提取出信號包絡 A (k)，有

復包絡 A (k)的Haar小波變換為

改進算法式(17)中的β1與Chan氏算法式(5)中的β有所不同，β可以是[- π ,π]中的任意值，而可見，符號發生變化的時刻，小波變換幅值的尖峰更明顯，并且不受載波初始相位的影響。對于小波尺度大小的選取，一般情況下分解3～5個尺度為宜，并對最大尺度下的Harr小波變換結果進行傅立葉變換，進而估計信號的波特率。如果尺度選得過大，則平滑化程度越高，會造成奇異點位置偏移和形態突變。而選得過小，會使小波變換模值偏小，易受噪聲影響。因此，本文選用4個小波尺度進行分解，并提取尺度4下的小波變換結果進行分析。

4 實驗仿真

PSK信號采樣頻率為 fs= 3 0MHz ，載頻為fc= 4 MHz ，波特率為 fd= 3 00kbit/s ，信號長度為100個符號，加性噪聲為高斯白噪聲，采用Haar小波。每組實驗分別進行100次仿真，對結果進行統計平均。

實驗1 在信噪比SNR=10dB時，對本文算法進行仿真，考察算法的有效性，并對本振輸出載頻進行卡爾曼濾波，如圖2所示。

圖2 本文算法仿真

由圖2(a)和圖2(b)可知本文算法中鎖相環能夠對輸入信號實現載頻同步，并提取出信號包絡。圖2(c)中小波變換模值可以清晰地反映出符號發生變化的位置。圖2(d)是對圖2(c)中小波變換的結果進行FFT變換，并對結果歸一化處理，進而得到最高譜峰對應的頻率，即為輸入信號的波特率。定義仿真得到信號波特率為 f?d，與真實波特率fd的相對誤差，此實驗說明本文所提出的波特率估計方法是有效的。

實驗2 2PSK信號載波初始相位θc=0°時，對Chan氏算法和本文算法分別考察信噪比對波特率估計的影響，如圖3所示。

圖3 不同信噪比下算法對比

由實驗2可知，本文算法在信噪比SNR＞0dB時，能夠準確地估計波特率，而Chan氏算法的估計效果在信噪比SNR＜7dB時明顯變差，如圖3所示。這是因為與Chan氏算法相比，本文算法在符號發生變化時刻，小波變換幅值的尖峰更明顯，因此具有更強的抑制噪聲的能力。

實驗3 2PSK信號信噪比SNR=10dB時，分別考察 Chan氏算法和本文算法載波初始相位對波特率估計的影響，如圖4所示。

圖4 不同載波初相下算法對比

由實驗3可知，本文算法不受輸入信號初始相位的影響，而Chan氏算法在70°～90°區間估計誤差顯著增大，其原因在式(5)和式(15)中已給出分析。

實驗 4 載波初始相位 θc=0°，當信噪比變化時，分別考察本文算法對2PSK、4PSK和8PSK信號波特率估計的影響，如圖5所示。

圖5 不同信號的估計誤差

由實驗4可知，本文算法對于不同的PSK信號都具有較好的韌性，均能在較低信噪比下對波特率準確估計。而且在信號的進制數未知的情況下，也能準確估計波特率，真正實現波特率的盲估計。

5 結束語

本文研究了小波變換技術在數字調制信號波特率提取方面的應用，考慮信號載波初始相位對估計有較大影響，提出了一種基于鎖相環和小波變換的波特率估計新算法。在對信號預處理后進行載波同步提取信號包絡，再經小波變換，完成對信號波特率的準確估計。與經典的Chan氏算法相比，在較低信噪比下仍有很好的精度，并且對載波的隨機初始相位不敏感。該方法同樣適用于QAM、ASK和FSK等數字調制信號，具有很好的推廣價值。

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