基于固體新單元模型分析理想彈塑性問題

柯 江

(陜西理工學(xué)院土建學(xué)院，陜西漢中 723001)

0 引言

固體力學(xué)是研究可變形固體在外界因素作用下所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變、位移和破壞等，彈性力學(xué)與塑性力學(xué)是固體力學(xué)的兩個重要分支［1］。目前，彈性力學(xué)與塑性力學(xué)問題的各種求解方法都非常復(fù)雜。筆者根據(jù)廣義虎克定律和疊加原理，提出了一種各向同性的線彈性固體的新單元模型［2］，然后推廣到特殊的正交各向異性線彈性材料［3］，即材料的工程彈性常數(shù)需要滿足一定的條件，而在文獻(xiàn)［4］將新單元模型進(jìn)一步推廣到一般正交各向異性線彈性材料。此外，在文獻(xiàn)［2］～［4］中沒有說明根據(jù)新單元模型如何確定彈性體的應(yīng)力、應(yīng)變。

本文將新單元模型應(yīng)用到各向同性的理想彈塑性材料用來求解塑性力學(xué)問題，并且將說明如何利用新單元求解固體受外力作用而發(fā)生的位移、應(yīng)力和應(yīng)變。

1 理想彈塑性問題的新單元模型

各向同性的塑性力學(xué)與彈性力學(xué)一樣包括三類問題:空間問題、平面應(yīng)力問題、平面應(yīng)變問題，因此下面分別說明這三類問題的新單元模型。各向同性的理想彈塑性固體的新單元模型與文獻(xiàn)［2］相似，只有兩個區(qū)別:1)新單元在各坐標(biāo)軸方向的尺寸必須相等;2)新單元中的桿件增加了屈服應(yīng)力。下面分別說明這三類問題的新單元模型中桿件的屈服應(yīng)力的取值，設(shè)固體材料的單向拉伸(壓縮)屈服應(yīng)力為σ0。

對于空間問題，新單元模型中與坐標(biāo)軸平行的12個桿件的屈服應(yīng)力為σ0，而另外12個交叉斜桿的屈服應(yīng)力為3σ0/8，當(dāng)新單元模型發(fā)生剪切屈服時所對應(yīng)的材料剪切屈服應(yīng)力為τ0=0.3σ0;對于平面應(yīng)力問題，新單元模型中與坐標(biāo)軸平行的4個桿件的屈服應(yīng)力為σ0，而另外2個交叉斜桿的屈服應(yīng)力為σ0/3，當(dāng)新單元模型發(fā)生剪切屈服時所對應(yīng)的材料剪切屈服應(yīng)力為τ0=0.25σ0;對于平面應(yīng)變問題，新單元模型中與坐標(biāo)軸平行的4個桿件的屈服應(yīng)力為 σ0，而另外2個交叉斜桿的屈服應(yīng)力為5σ0/16，當(dāng)新單元模型發(fā)生剪切屈服時所對應(yīng)的材料剪切屈服應(yīng)力為 τ0=0.25σ0。

2 基于新單元模型的應(yīng)力及應(yīng)變計算

通過計算由新單元組成的桁架結(jié)構(gòu)，可以得到結(jié)點(diǎn)的位移，這些結(jié)點(diǎn)位移就作為固體內(nèi)各點(diǎn)的位移，而怎么計算固體在外力作用下的應(yīng)力、應(yīng)變，下面筆者給出兩種簡單的方法。

方法一:材料處于彈性階段才適用。通過計算由新單元組成的桁架結(jié)構(gòu)，可以得到各桿件的線應(yīng)變，這些線應(yīng)變就作為彈性體各點(diǎn)不同方向的線應(yīng)變，彈性體的剪應(yīng)變則根據(jù)與線應(yīng)變的關(guān)系確定，為了提高應(yīng)變解的精度，可采用繞結(jié)點(diǎn)平均法，即把環(huán)繞某一結(jié)點(diǎn)的各新單元在該結(jié)點(diǎn)處的正應(yīng)變(或剪應(yīng)變)加以平均，用來表示該結(jié)點(diǎn)處的正應(yīng)變(或剪應(yīng)變);或者彈性體在一結(jié)點(diǎn)處的應(yīng)變由相鄰結(jié)點(diǎn)位移計算得出;最后根據(jù)廣義虎克定律由應(yīng)變計算應(yīng)力。一點(diǎn)處的剪應(yīng)變與線應(yīng)變的關(guān)系如下［1］。

對于平面問題為:

對于空間問題為:

其中，εPN為點(diǎn) P 處沿 PN 方向的線應(yīng)變;ε1，ε2，ε3，γ23，γ31，γ12分別為點(diǎn)P處的3個正應(yīng)變及3個剪應(yīng)變;l，m，n分別為線段PN與1，2，3坐標(biāo)軸的夾角余弦。

方法二:材料處于彈性或塑性階段都適用。通過計算由新單元組成的桁架結(jié)構(gòu)，可以得到各桿件的軸力，要得到固體內(nèi)某一點(diǎn)在一個平面的正應(yīng)力(或剪應(yīng)力)，可以通過該平面一側(cè)相交于該點(diǎn)的各桿件軸力的合力在該平面法線方向(或切線方向)的分力除以該點(diǎn)的從屬面積，就可以得到該點(diǎn)的正應(yīng)力(或剪應(yīng)力);應(yīng)變的確定與“方法一”相同，若處于彈性階段，還可以根據(jù)廣義虎克定律由應(yīng)力計算應(yīng)變。

3 計算實(shí)例

一個懸臂梁(見圖1)，長度L=320 mm，高度H=80 mm，厚度t=1 mm，在自由端承受向下的集中荷載F=10 000 N，彈性模量，泊松比v=1/3。新單元計算模型一共包含256個新單元(見圖2)，新單元在x，y方向的尺寸均為10 mm，三種桿件的截面面積分別為:A1=A2=3.75 mm2，A3=5.303 3 mm2。有限元計算模型采用平面應(yīng)力單元，單元尺寸與新單元相同，由256個平面應(yīng)力單元組成。

圖1 集中荷載作用下的懸臂梁

圖2 新單元計算模型

基于ABAQUS軟件分別采用新單元模型與平面應(yīng)力單元模型計算該懸臂梁，而且還采用解析法計算，得到的三種方法的計算結(jié)果見表1～表5。

表1 三種方法的x方向位移對比 mm

表2 三種方法的y方向位移對比 mm

由表1～表5可知，在邊界點(diǎn)和荷載作用點(diǎn)，三種方法的計算結(jié)果偏差較大，而在離開邊界點(diǎn)和荷載作用點(diǎn)稍遠(yuǎn)的地方，三種方法的計算結(jié)果吻合良好，新單元法求得的結(jié)果與解析解相比，x方向位移最大偏差為3.84%，y方向位移最大偏差為6.54%，正應(yīng)力σx最大偏差為1.94%，正應(yīng)力σy最大偏差為0.0%，剪應(yīng)力τxy最大偏差為1.92%，而有限元法求得的結(jié)果與解析解相比，x方向位移最大偏差為5.20%，y方向位移最大偏差為7.78%，正應(yīng)力σx最大偏差為0.78%，正應(yīng)力σy最大偏差為0.0%，剪應(yīng)力τxy最大偏差為3.91%。

表3 三種方法的正應(yīng)力σx對比

表4 三種方法的正應(yīng)力σy對比

表5 三種方法的剪應(yīng)力τxy對比

若假定該懸臂梁材料的單向拉伸(壓縮)屈服應(yīng)力為3 000 N/mm2(見圖1)，則采用新單元模型計算，取新單元的平行于x，y方向的桿件屈服應(yīng)力為3 000 N/mm2，交叉斜桿的屈服應(yīng)力為1 000 N/mm2，用ANSYS軟件則可求得該懸臂梁的屈服極限荷載為F=15 kN，與塑性力學(xué)精確解一致。

4 結(jié)語

目前，正交各向異性材料的彈性力學(xué)問題和各向同性的理想彈塑性問題的求解異常繁雜，而根據(jù)固體新單元模型可以很容易的分析固體在外力作用下的位移、應(yīng)力及應(yīng)變，而且計算精度良好。

［1］徐芝倫.彈性力學(xué)［M］.第4版.北京:高等教育出版社，2006.

［2］柯 江.實(shí)體結(jié)構(gòu)求解的新方法［J］.山西建筑，2008，34(9):112-113.

［3］柯 江.彈性固體的新單元模型［J］.山西建筑，2012，38(19):58-59.

［4］KE Jiang.A New Model of Orthotropic Bodies［C］.Applied Mechanics and Materials，August，2012:204-208，4418-4421.