讓數學競賽走近更多師生——2012年浙江省高中數學競賽試題評析

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(杭州學軍中學 浙江杭州 310012)

讓數學競賽走近更多師生——2012年浙江省高中數學競賽試題評析

●鄭日鋒

(杭州學軍中學 浙江杭州 310012)

長期以來，許多師生覺得數學競賽試題深不可測，認為只有競賽教練或參加競賽輔導的學生才可以去研究或做數學競賽試題，因此避而遠之．其實，近幾年來，從全國高中數學聯賽一試到大部分省市的數學競賽試題都在降低難度上下了功夫，旨在讓更多的高中學生參與到數學競賽活動中來，讓學生感受到數學的魅力，培養學習數學的興趣．因此許多數學競賽試題實際上是教材知識的拓展與深化，呈現出“高考化”的傾向，有人認為省數學競賽試題是提前了2個月的高考．2012年浙江省高中數學競賽試題繼承了前3年試題的特色，在平凡中見新奇，刻意降低了試題難度，真正體現了讓數學競賽走近更多師生.本文簡述其特點．

1 高考味

1．1 降低試題的起點

試卷第1，2，3，4，5，6，7，11題，考查高中數學的基礎知識，這些題目來源于課本，解決的方法都是基本方法，難度與高考試題中的基礎題相當，這種降低試題起點的做法能增強學生解題的信心．

1.2 突出數學思想方法的考查

試卷對函數與方程思想、分類討論思想、數形結合思想、轉化思想等進行了全面的考查.

第10題設f(x)=x2+bx+c,若方程f(x)=x無實根，則方程f(f(x))=x

( )

A．有4個相異實根 B．有2個相異實根

C．有1個實根 D．無實根

分析本題是一個迭代函數的不動點問題.已知f(x)沒有不動點，判斷二階迭代函數有幾個不動點.因為y=f(x)-x是二次項系數為正數的二次函數，所以f(x)>x對任意x∈R恒成立(否則若存在x1∈R使f(x1)x2，所以由連續函數的零點存在定理，必存在x0在x1與x2之間，使f(x0)=x0矛盾).因此f(f(x))>f(x)>x，于是有f(f(x))>x對任意x∈R恒成立，即方程f(f(x))=x無實根，故選D．在解題過程中體現了函數與方程思想．

第14題已知實數a,b,c,d滿足ab=c2+d2=1，則(a-c)2+(b-d)2的最小值為________.

分析本題若從代數的角度很難找到解題思路，但從幾何角度便能輕松解決．

圖1

分析本題要解含有絕對值的三角方程，通常的思路是去掉絕對值，分2種情況討論：

(1)若cosx≥0，則

1-cosx=sinx(1+cosx)，

即

sinxcosx+sinx+cosx-1=0.

設sinx+cosx=t，則

t2+2t-3=0，

解得

t=1(t=-3舍去)，

因此

sinx+cosx=1,

即

sinx=1,cosx=0或sinx=0,cosx=1.

(2)若cosx<0，同理可得

sinx=0,cosx=-1.

本題體現了分類討論思想．

顯然，N∈Z+,且x1,x2是方程x2-2Nx+qn=0的2個根.由x1≤x2,得

本題體現了轉化思想．

2 競賽味

2個附加題，第21題屬于平面幾何問題，第(1)小題比較簡單，只需利用弦切角與夾弧所對的圓心角的關系；第(2)小題，需利用對邊之和相等的四邊形是圓外切四邊形；第(3)小題只需證2個圓的圓心重合，這需要利用圓外一點作圓的切線的性質．平面幾何歷來是數學競賽的熱點內容，本題難度并不大．第22題屬于離散函數的值域問題，需要利用2個整數的和與差具有相同的奇偶性，并通過構造證明各函數值的存在，這個題目的答案可以猜出來.本題是全卷中較難的，并具有較濃競賽味的一個問題．

3 研究味

一份好的試卷往往能讓人回味無窮，作為一線教師需要對試題進行多方位的探索．

3.1 優解

分析除命題者提供的解答外，以下的解答更簡便．

設P(m,0)(-5≤m≤5),A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AB的方程為x=m+ty.由

得

(16t2+25)y2+32mty+16m2-400=0,

(1+t2)[(y1+y2)2-2y1y2]=

3.2 延伸

第10題可以進行如下拓展:

拓展1設f(x)是定義域為I的連續函數，且f(x)∈I，f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))(n≥2,n∈N*),則由函數y=f1(x)-x不存在零點，可得對任意n∈N*，函數y=fn(x)-x都不存在零點.

有興趣的讀者可查看文獻[1].

此題可以進行如下拓展:

證明過程與原題相仿．

第22題設i1,i2,…,i10為1,2,…,10的一個排列，記S=|i1-i2|+|i3-i4|+…+|i9-i10|，求S可以取到的所有值．

經過探究，本題可以進行如下拓展:

拓展3設n為正偶數，i1,i2,…,in為1,2,…,n的一個排列，記S=|i1-i2|+|i3-i4|+…+|in-1-in|，則

3．3 認識

第21題第(2)小題，標準答案中直接利用對邊之和相等的四邊形是圓外切四邊形，不證明直接應用，而平面幾何書籍中只指出，圓外切四邊形的對邊之和相等，沒有研究其逆命題是否成立，因此應先證明逆命題成立．

第13題作為B卷的試題考查了反正弦函數，超出了新課程標準要求的范圍，非附加題的試題考查的內容應局限在高考范圍內比較合適．

[1] 鄭日鋒．一類迭代函數零點問題解決的心路歷程[J]．中學數學教學參考，2011(8):63-64．