2012年希望杯九年級浙江卷數學試題評析

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(希望杯全國數學邀請賽浙江工作站 浙江杭州 310013)

2012年希望杯九年級浙江卷數學試題評析

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(希望杯全國數學邀請賽浙江工作站 浙江杭州 310013)

一年一度的希望杯全國數學邀請賽決賽于4月8日上午在浙江各地如期展開.浙江省九年級2012年有8 500多學生參加了本次競賽的一試,其中有1 700余位學生進入二試.

希望杯試題一如既往地遵循“激發廣大中小學生數學學習的興趣,培養數學學習的自信心,提高數學思維能力和綜合素質”的原則,為學有特長的學生提供了一個展示個性化和創造力的平臺.

2012年希望杯決賽九年級試題在往年的形式上加強了基礎知識和基本數學思想方法的考查,使參加競賽的學生經歷了一場較高要求的模擬訓練,使得在數學學習上學有余力的學生得到了一次很好的數學思維的提升,對在不久后的中考拿下試卷中10%的較難題也是一次有益的演練.

試卷基本上圍繞初中數學新課程中數學學習的四大領域,有較廣的知識覆蓋面和突出重點內容的主線.整份試卷90%以上的題目圍繞函數、方程、不等式以及特殊三角形特殊四邊形和圓這些重點內容展開，強調了基礎知識的重要性,與中考的內容要求緊密相關.

試題從多層次、多角度體現了常用的數學方法和重要的數學思想.如：

第2題已知函數

若使y=k成立的x值恰好有3個，則k的值為______.

可以作出分段的二次函數圖像(拋物線)和平行于x軸的直線來找到交點.

第9題若實數x,y,z滿足x+y=4 和xy=z2+4, 則x+2y+3z=______．

由條件知有2種思路:一是消去y,配方成z2+(x-2)2=0;二是從條件形式上看是已知x,y的和與積,可以考慮以x,y為根構造一元二次方程利用判別式解決.

第12題在長方形ABCD中，放入6個形狀、大小相同的長方形，所標尺寸如圖1所示，則圖中陰影部分的面積為______cm2．

圖1

根據條件設小長方形的長寬分別為a,b,可以以數助形建立關于a,b的方程組來求解.

可通過換元、替換、因式分解等多種變形求解.

(1)求a+b+c的值；

(2)若滿足a-b+c=0，求二次函數的解析式；

(3)求a-b+c的取值范圍.

此題以二次函數為背景,需要采用令值、夾逼、消元、判別式、配方、不等關系等多種思想方法綜合加以解決.

以上幾個題目的考查,都說明只有把數學知識和數學方法緊密地結合在一起,才能促進思維的靈活度,提高解決數學問題的水平.

還有一類題目是我們稱之為“能力型”的問題.比如

第7題小明與小華做游戲，記分規則如下：開始,每人記分牌上都是1分，以后每贏一次就將自己的記分牌上的得分乘以3.游戲結束后，小明的得分減去小華的得分恰好是675的正整數倍，則小明至少比小華多贏( )分.

第11題“上升數”是指一個數中右邊數字比左邊數字大的自然數(如34，568，2 469等).現任取一個兩位數，則它是上升數的概率是______.

第15題現有長為150 cm的一根鐵絲，要截成若干個小段，每段的長度都是不小于1的整數.若其中任意3小段都不能組成三角形，則當截成的線段最多時，共有______種截法.

上述題目對具備小學數學知識但有較高能力的學生,即可順利解決,而有了大學知識但能力不夠的學生卻仍然解決不了.

作為數學競賽,個別題目又在課本的要求外提升了一步,如第8題中拋物線中點的縱坐標和橫坐

圖2

標之間,呈一等差數列的關系,要使經過的格點盡量多，則這個等差數列的公差要盡量小，且為整數,因此得公差為1(如圖2);在第13題和第15題中2次用到三角形的外心來解決問題;第18題中,直接求a+b+c的值條件不夠,是通過條件得到a+b+c≥2，同時又由a+b+c≤2,得到a+b+c=2.這樣的方法我們稱之為“夾逼法”.

北京組委會接受了浙江工作站的思路和理念,2012年第一次增加了九年級的希望杯競賽,但是為了更符合浙江考生的實際水平以及公平公正等原因,九年級仍然采用了浙江工作站命題組的特別試卷.從讓九年級數學水平較高的學生取得競賽和中考雙豐收的目的出發,試卷中避免了希望杯競賽大綱中關于邏輯類、數論類的題目,盡可能地與中考內容接軌.

在此筆者向在第22屆希望杯全國數學邀請賽中獲得好成績的學生表示祝賀,衷心希望廣大學生和競賽指導教師繼續支持希望杯浙江工作站的各項工作.

《中學教研》(數學)征訂征稿啟事

《中學教研》(數學)是由浙江師范大學主辦的中學數學教育學術類刊物.本刊設有“名師論壇”、“教學研究”、“解題技法”、“課堂聚焦”、“研究心得”、“初數新探”、“高考中考”、“競賽之窗”等欄目.熱忱歡迎新老讀者賜稿并訂閱.

本刊第8期將重點刊登圍繞2012年高考數學試題評析與研究的論文，敬請廣大教師與教研員踴躍投稿，來稿請標注“高考試題評析”，以便及時審理，截稿日期：2012年7月1日.

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