能量法在一類鋼壓桿（巴桿）穩定分析中的應用

李綺文　丁圣果　丁婷　姜宇

【摘要】應用能量法對實際工程中的一類壓桿進行了理論分析，得到臨界荷載 的表達式，計算結果與采用有限元法的數值分析結果基本一致。

【關鍵詞】穩定；臨界荷載；能量法お

The application of energy method for stability analysis of a class of steel pressure rod

Li Qi—wen1，Ding Sheng—guo2，Ding Ting2，Jiang Yu3

（1.Guizhou University Mingde School GuiyangGuizhou550003；

2.Guizhou University Institute of Civil engineeringGuiyangGuizhou550003；

3.Guiyang Technical Safety Supervision BureauGuiyangGuizhou550003）

【Abstract】Through theoretical analysis of the energy method， calculation formula for the critical load of a compressive bar in practical engineering application is derived.Results get by use of this expression and the finite element numerical analysis results are basically the same.

【Key words】Stability；Critical load；The energy methodお

1.鋼壓桿的彈性穩定理論分析

空間壓桿俗稱巴桿，其簡圖如圖1所示，主桿抗彎剛度EI璬 ，斜向拉桿的抗議拉壓剛度EA璹 ，拉桿設置于主桿截面兩慣性主軸oyz 方向。分析在主桿截面主慣性矩較小的主平面上進行，計算簡圖如圖2。.

圖1空間壓桿

兩段主桿屈曲狀態如圖3 所示，設其壓曲函數分別y1（x）為y2（x） 和 ：

y1（x）=A1〔sinπxl+xl〕

y2（x）=（A2—A1）〔sinπxl+xl〕 （a）

所設壓曲函數完全滿足主桿端的邊界約束條件及隱含的力邊界條件：

y1（0）=0，y1''（0）≠0，y1"（0）=0

y1（l）=A1，y1''（l）≠0，y1"（l）=0

y2（0）=0，y2''（0）≠0，y2"（0）=0

y2（l）=A2—A1，y2''（l）≠0，y2"（l）=0

斜拉桿①、②對主桿的作用等效為彈簧[1]，彈簧常數k1和k2的分析見圖4。當主桿端B發生垂直于主桿軸向的單位位移 u=1時，引起斜拉桿①的申長△1 =cosα，由此引起u方向的力即B處等效彈簧常數 k1，在計算這一等效彈簧常數時，因斜桿長細比過大不計入斜壓桿對剛度的貢獻（計算中取α=30°，β=60° ）：

圖2壓桿計簡圖算

k1=EA璹l1△1（cosα）=EA璹lcos2αsinα=3EA璹8l

同理可分析得到斜拉桿②的等效彈簧常數：

k2=EA璹l2△2 （cosβ）=EA璹2lcos2βsinβ=3EA璹16l

在圖3所示的臨界壓屈狀態計算體系內的彈性變形能U：

U=12纋0EI璬[y1"（x）]2dx+12纋0EI璬[y2"（x）]2dx+12k1A12+12k2A22

完成積分運算后彈性變形能：

U=k0（2A12+A22—2A1A2）+k1A12+k2A22

臨界狀態外力P1和P2所做的功W：

W=2P2纋0[y1''（x）]2dx+P2纋0{[y1''（x）]2+[y2''（x）]2}dx

完成積分運算后：

W=P0（4A12+A22—2A1A2）

體系的勢能=U—W ，由臨界狀態的能量特征：

氮藩礎1=0：（2k0+k1—4P0） A1 +（P0—k0）A2=0 （b）

氮藩礎2=0：（P0—k0）A1 + （k0+k2—P0） A2=0（c）

（b），（c）式構成所設壓屈函數（a）有非零解的條件是A1 ，A2 的系數行列式為零：

2k0+k1—4P0P0—k0P0—k0k0+k2—P0=0（d）

其中P0=Pヽr l 〔π22+1〕，k0= π4EI璬2 l3

由（d）式得確定臨界荷載 Pヽr的方程：

αP02 +bP0+c=0（e）

其中： α=3，b=—（4k0+4k2+k1），c=k02+k1k0+2k2k0+k1k2

圖3主桿壓屈狀態

圖4斜拉桿等效彈簧剛度系數分析

根據實際結構，主桿由兩根40b槽鋼組成，斜拉桿為4號等邊角鋼，對于工程中常用的巴桿

A璹≈10I璬l2

，由（e）式解得： P0=17.8335EI璬l3

Pヽr=P0l〔π22+1〕 =0.304π2 EI璬 l2 （2）

對于主桿為空腹格構式鋼桿的情況，臨界荷載的計算還須考慮主桿剪切變形的影響，按綴板式組合壓桿的理論分析，應在（2）式反應主桿長度的l中引入長度修正系數 μ[1][2]：

μ=λ2+λ2璬λ2

相應臨界荷載較（2）式有所降低：

Pヽr=0.304π2 EI璬 （μl）2（3）

對于一般的空腹鋼格構式壓桿，μ=1.05—1.25 ，將此值代入（3）式，有：

Pヽr= （0.195—0.276）π2 EI璬 l2（3a）

對于所分析的鋼壓桿，應用有限單元法線彈性穩定數值分析結果為Pヽr=0.242π2 EI璬 l2 ，表明（3a）式計算結果完全在有限元數值分析結果的范圍。

2. 結論及討論：

2.1應用勢能駐值原理導出的一類工程壓桿臨界荷載的計算式。由于所設定的壓桿屈曲函數完全滿足桿端位移邊值條件及隱含的力邊值條件，理論分析所得臨界荷載的計算結果與有限元彈性數值分析結果基本吻合。

2.2當主桿周圍的斜桿多于四根或斜桿非對稱分布的情況，仍可用空間軸力桿剛度分析的方法[1]獲得斜桿的等效剛度k1 ，k2 ，從而由（e）式計算得臨界荷載。

2.3所得臨界荷載的計算式僅限于這類工程上常用壓桿的彈性穩定的一階估計，屬分支點失穩分析[3][4][5]，對于桿件材料進入彈塑性且引入初始缺陷的二階穩定分析，一般應用有限單元法完成[6][7]，所得結果常比線彈性有限元分析結果降低30%～50%。

參考文獻

[1]丁圣果 分析結構力學[M]，貴州科技出版社2010.12，448～463，351～361.

[2]龍馭球 包世華 結構力學II[M]，，高等教育出版社2006.12 238～244.

[3]丁圣果，付波 大跨四角錐系空間桁架臨界荷載分析，四川建筑科學研究[J] 2011.10 vol 37 no 5 8～11.

[4]付波，丁圣果，鄭濤，鄭偉：四角錐空間桁架的臨界荷載，貴州大學學報（自然科學版）[J] 2009.10 vol 26 no 5 101～104 工業建筑2010增刊[J] vol40 417～420.

[5]丁圣果，付波 梭形桁架式屋蓋整體穩定的一階屈曲分析 工業建筑2010增刊[J] vol40 417～420.

[6]付波，丁圣果：梭形桁架式屋蓋整體穩定的非線性分析， 工業建筑2010增刊[J] vol40 421～423.

[7]胡星巖， 張曉光， 楊建行等： 空間鋼管桁架結構的整體穩定分析 工程力學， 2001增刊[J]481～485.